Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8341 / 6091
↖ ↑ ↗
← N 41.853196°
E  3.273926°		 ← 1 819.89 m → N 41.853196°
E  3.295898°		 →
↑
1 820.13 m
↓
↑
1 820.13 m
↓
N 41.836828°
E  3.273926°		 ← 1 820.36 m →
3 312 867 m²		 N 41.836828°
E  3.295898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8341 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.509124755859375 y=0.371795654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.509124755859375 × 214)
    floor (0.509124755859375 × 16384)
    floor (8341.5)     		tx = 8341
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.371795654296875 × 214)
    floor (0.371795654296875 × 16384)
    floor (6091.5)     		ty = 6091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8341 / 6091 ti = "14/8341/6091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8341/6091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8341 ÷ 214
    8341 ÷ 16384     		x = 0.50909423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6091 ÷ 214
    6091 ÷ 16384     		y = 0.37176513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.50909423828125 × 2 - 1) × π
    0.0181884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.05714078
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37176513671875 × 2 - 1) × π
    0.2564697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.805723408813904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.05714078} λ = 0.05714078}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.805723408813904))-π/2
    2×atan(2.23831513017677)-π/2
    2×1.15063620355037-π/2
    2.30127240710073-1.57079632675     		φ = 0.73047608
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.05714078} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 3.273926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.73047608 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 41.853196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8341 KachelY 6091 0.05714078 0.73047608 3.273926 41.853196
    Oben rechts KachelX + 1 8342 KachelY 6091 0.05752428 0.73047608 3.295898 41.853196
    Unten links KachelX 8341 KachelY + 1 6092 0.05714078 0.73019039 3.273926 41.836828
    Unten rechts KachelX + 1 8342 KachelY + 1 6092 0.05752428 0.73019039 3.295898 41.836828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.73047608-0.73019039) × R
    0.000285690000000005 × 6371000     		dl = 1820.13099000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.73047608-0.73019039) × R
    0.000285690000000005 × 6371000     		dr = 1820.13099000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.05714078-0.05752428) × cos(0.73047608) × R
    0.000383499999999995 × 0.744856834613336 × 6371000     		do = 1819.8926895888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.05714078-0.05752428) × cos(0.73019039) × R
    0.000383499999999995 × 0.745047423530157 × 6371000     		du = 1820.3583513916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.73047608)-sin(0.73019039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744856834613336-0.745047423530157)×R²
    abs(0.05752428-0.05714078)×0.000190588916820889×R²
    0.000383499999999995×0.000190588916820889×6371000²
    0.000383499999999995×0.000190588916820889×40589641000000     		ar = 3312866.88806694m²