Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8340 / 24908
↖ ↑ ↗
← N 39.588757°
W134.187012°		 ← 470.75 m → N 39.588757°
W134.181518°		 →
↑
470.69 m
↓
↑
470.69 m
↓
N 39.584524°
W134.187012°		 ← 470.77 m →
221 582 m²		 N 39.584524°
W134.181518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8340 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127265930175781 y=0.380073547363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127265930175781 × 216)
    floor (0.127265930175781 × 65536)
    floor (8340.5)     		tx = 8340
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380073547363281 × 216)
    floor (0.380073547363281 × 65536)
    floor (24908.5)     		ty = 24908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8340 / 24908 ti = "16/8340/24908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8340/24908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8340 ÷ 216
    8340 ÷ 65536     		x = 0.12725830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24908 ÷ 216
    24908 ÷ 65536     		y = 0.38006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.7454833984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34200517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.38006591796875 × 2 - 1) × π
    0.2398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.753568062027283
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34200517} λ = -2.34200517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.753568062027283))-π/2
    2×atan(2.12456709585969)-π/2
    2×1.13087524401711-π/2
    2.26175048803421-1.57079632675     		φ = 0.69095416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34200517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.187012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69095416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.588757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8340 KachelY 24908 -2.34200517 0.69095416 -134.187012 39.588757
    Oben rechts KachelX + 1 8341 KachelY 24908 -2.34190929 0.69095416 -134.181518 39.588757
    Unten links KachelX 8340 KachelY + 1 24909 -2.34200517 0.69088028 -134.187012 39.584524
    Unten rechts KachelX + 1 8341 KachelY + 1 24909 -2.34190929 0.69088028 -134.181518 39.584524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69095416-0.69088028) × R
    7.38799999999706e-05 × 6371000     		dl = 470.689479999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69095416-0.69088028) × R
    7.38799999999706e-05 × 6371000     		dr = 470.689479999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34200517--2.34190929) × cos(0.69095416) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.770638305692101 × 6371000     		do = 470.745549578584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34200517--2.34190929) × cos(0.69088028) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.770685385302203 × 6371000     		du = 470.774308228093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69095416)-sin(0.69088028))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770638305692101-0.770685385302203)×R²
    abs(-2.34190929--2.34200517)×4.70796101023074e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.70796101023074e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.70796101023074e-05×40589641000000     		ar = 221581.746241032m²