Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83391 / 20542
↖ ↑ ↗
← N 76.801993°
E 49.040222°		 ← 69.73 m → N 76.801993°
E 49.042969°		 →
↑
69.76 m
↓
↑
69.76 m
↓
N 76.801366°
E 49.040222°		 ← 69.74 m →
4 865 m²		 N 76.801366°
E 49.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636226654052734 y=0.156726837158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636226654052734 × 217)
    floor (0.636226654052734 × 131072)
    floor (83391.5)     		tx = 83391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156726837158203 × 217)
    floor (0.156726837158203 × 131072)
    floor (20542.5)     		ty = 20542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83391 / 20542 ti = "17/83391/20542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83391/20542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83391 ÷ 217
    83391 ÷ 131072     		x = 0.636222839355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20542 ÷ 217
    20542 ÷ 131072     		y = 0.156723022460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636222839355469 × 2 - 1) × π
    0.272445678710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.85591334
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156723022460938 × 2 - 1) × π
    0.686553955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15687286150481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85591334} λ = 0.85591334}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15687286150481))-π/2
    2×atan(8.64406416344142)-π/2
    2×1.45562198790981-π/2
    2.91124397581962-1.57079632675     		φ = 1.34044765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85591334} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.040222°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34044765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.801993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83391 KachelY 20542 0.85591334 1.34044765 49.040222 76.801993
    Oben rechts KachelX + 1 83392 KachelY 20542 0.85596128 1.34044765 49.042969 76.801993
    Unten links KachelX 83391 KachelY + 1 20543 0.85591334 1.34043670 49.040222 76.801366
    Unten rechts KachelX + 1 83392 KachelY + 1 20543 0.85596128 1.34043670 49.042969 76.801366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34044765-1.34043670) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dl = 69.7624500004146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34044765-1.34043670) × R
    1.09500000000651e-05 × 6371000     		dr = 69.7624500004146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85591334-0.85596128) × cos(1.34044765) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.228317004547977 × 6371000     		do = 69.733890068765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85591334-0.85596128) × cos(1.34043670) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.228327665310246 × 6371000     		du = 69.7371461399698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34044765)-sin(1.34043670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228317004547977-0.228327665310246)×R²
    abs(0.85596128-0.85591334)×1.06607622685218e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.06607622685218e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.06607622685218e-05×40589641000000     		ar = 4864.92059500041m²