Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83389 / 20508
↖ ↑ ↗
← N 76.823297°
E 49.034729°		 ← 69.62 m → N 76.823297°
E 49.037476°		 →
↑
69.64 m
↓
↑
69.64 m
↓
N 76.822671°
E 49.034729°		 ← 69.63 m →
4 848 m²		 N 76.822671°
E 49.037476°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83389 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636211395263672 y=0.156467437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636211395263672 × 217)
    floor (0.636211395263672 × 131072)
    floor (83389.5)     		tx = 83389
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156467437744141 × 217)
    floor (0.156467437744141 × 131072)
    floor (20508.5)     		ty = 20508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83389 / 20508 ti = "17/83389/20508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83389/20508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83389 ÷ 217
    83389 ÷ 131072     		x = 0.636207580566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20508 ÷ 217
    20508 ÷ 131072     		y = 0.156463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636207580566406 × 2 - 1) × π
    0.272415161132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.85581747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156463623046875 × 2 - 1) × π
    0.68707275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15850271609189
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85581747} λ = 0.85581747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15850271609189))-π/2
    2×atan(8.6581642184676)-π/2
    2×1.45580790212107-π/2
    2.91161580424215-1.57079632675     		φ = 1.34081948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85581747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.034729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34081948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.823297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83389 KachelY 20508 0.85581747 1.34081948 49.034729 76.823297
    Oben rechts KachelX + 1 83390 KachelY 20508 0.85586541 1.34081948 49.037476 76.823297
    Unten links KachelX 83389 KachelY + 1 20509 0.85581747 1.34080855 49.034729 76.822671
    Unten rechts KachelX + 1 83390 KachelY + 1 20509 0.85586541 1.34080855 49.037476 76.822671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34081948-1.34080855) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dl = 69.6350299997743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34081948-1.34080855) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dr = 69.6350299997743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85581747-0.85586541) × cos(1.34081948) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.227954979976339 × 6371000     		do = 69.623318446074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85581747-0.85586541) × cos(1.34080855) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.22796562219411 × 6371000     		du = 69.6265688533119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34081948)-sin(1.34080855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227954979976339-0.22796562219411)×R²
    abs(0.85586541-0.85581747)×1.06422177710286e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.06422177710286e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.06422177710286e-05×40589641000000     		ar = 4848.33503985607m²