Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83388 / 20509
↖ ↑ ↗
← N 76.822671°
E 49.031982°		 ← 69.63 m → N 76.822671°
E 49.034729°		 →
↑
69.64 m
↓
↑
69.64 m
↓
N 76.822045°
E 49.031982°		 ← 69.63 m →
4 849 m²		 N 76.822045°
E 49.034729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636203765869141 y=0.156475067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636203765869141 × 217)
    floor (0.636203765869141 × 131072)
    floor (83388.5)     		tx = 83388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156475067138672 × 217)
    floor (0.156475067138672 × 131072)
    floor (20509.5)     		ty = 20509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83388 / 20509 ti = "17/83388/20509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83388/20509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83388 ÷ 217
    83388 ÷ 131072     		x = 0.636199951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20509 ÷ 217
    20509 ÷ 131072     		y = 0.156471252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636199951171875 × 2 - 1) × π
    0.27239990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85576953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156471252441406 × 2 - 1) × π
    0.687057495117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.15845477919227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85576953} λ = 0.85576953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15845477919227))-π/2
    2×atan(8.65774918286641)-π/2
    2×1.45580243826601-π/2
    2.91160487653201-1.57079632675     		φ = 1.34080855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85576953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.031982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34080855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.822671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83388 KachelY 20509 0.85576953 1.34080855 49.031982 76.822671
    Oben rechts KachelX + 1 83389 KachelY 20509 0.85581747 1.34080855 49.034729 76.822671
    Unten links KachelX 83388 KachelY + 1 20510 0.85576953 1.34079762 49.031982 76.822045
    Unten rechts KachelX + 1 83389 KachelY + 1 20510 0.85581747 1.34079762 49.034729 76.822045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34080855-1.34079762) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dl = 69.6350299997743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34080855-1.34079762) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dr = 69.6350299997743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85576953-0.85581747) × cos(1.34080855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22796562219411 × 6371000     		do = 69.6265688531507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85576953-0.85581747) × cos(1.34079762) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227976264384647 × 6371000     		du = 69.6298192520707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34080855)-sin(1.34079762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22796562219411-0.227976264384647)×R²
    abs(0.85581747-0.85576953)×1.06421905371468e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06421905371468e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06421905371468e-05×40589641000000     		ar = 4848.56138175323m²