Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83384 / 20185
↖ ↑ ↗
← N 77.024010°
E 49.020996°		 ← 68.58 m → N 77.024010°
E 49.023743°		 →
↑
68.62 m
↓
↑
68.62 m
↓
N 77.023392°
E 49.020996°		 ← 68.58 m →
4 706 m²		 N 77.023392°
E 49.023743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636173248291016 y=0.154003143310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636173248291016 × 217)
    floor (0.636173248291016 × 131072)
    floor (83384.5)     		tx = 83384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154003143310547 × 217)
    floor (0.154003143310547 × 131072)
    floor (20185.5)     		ty = 20185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83384 / 20185 ti = "17/83384/20185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83384/20185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83384 ÷ 217
    83384 ÷ 131072     		x = 0.63616943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20185 ÷ 217
    20185 ÷ 131072     		y = 0.153999328613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63616943359375 × 2 - 1) × π
    0.2723388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85557778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153999328613281 × 2 - 1) × π
    0.692001342773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.17398633466917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85557778} λ = 0.85557778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17398633466917))-π/2
    2×atan(8.79326717296526)-π/2
    2×1.45755944621873-π/2
    2.91511889243747-1.57079632675     		φ = 1.34432257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85557778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.020996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34432257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.024010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83384 KachelY 20185 0.85557778 1.34432257 49.020996 77.024010
    Oben rechts KachelX + 1 83385 KachelY 20185 0.85562572 1.34432257 49.023743 77.024010
    Unten links KachelX 83384 KachelY + 1 20186 0.85557778 1.34431180 49.020996 77.023392
    Unten rechts KachelX + 1 83385 KachelY + 1 20186 0.85562572 1.34431180 49.023743 77.023392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34432257-1.34431180) × R
    1.07700000000488e-05 × 6371000     		dl = 68.6156700003109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34432257-1.34431180) × R
    1.07700000000488e-05 × 6371000     		dr = 68.6156700003109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85557778-0.85562572) × cos(1.34432257) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.224542728761719 × 6371000     		do = 68.5811290937811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85557778-0.85562572) × cos(1.34431180) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.224553223728605 × 6371000     		du = 68.5843345268084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34432257)-sin(1.34431180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224542728761719-0.224553223728605)×R²
    abs(0.85562572-0.85557778)×1.04949668857379e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.04949668857379e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.04949668857379e-05×40589641000000     		ar = 4705.85009372488m²