Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83384 / 20168
↖ ↑ ↗
← N 77.034490°
E 49.020996°		 ← 68.53 m → N 77.034490°
E 49.023743°		 →
↑
68.55 m
↓
↑
68.55 m
↓
N 77.033873°
E 49.020996°		 ← 68.53 m →
4 698 m²		 N 77.033873°
E 49.023743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83384 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636173248291016 y=0.153873443603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636173248291016 × 217)
    floor (0.636173248291016 × 131072)
    floor (83384.5)     		tx = 83384
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153873443603516 × 217)
    floor (0.153873443603516 × 131072)
    floor (20168.5)     		ty = 20168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83384 / 20168 ti = "17/83384/20168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83384/20168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83384 ÷ 217
    83384 ÷ 131072     		x = 0.63616943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20168 ÷ 217
    20168 ÷ 131072     		y = 0.15386962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63616943359375 × 2 - 1) × π
    0.2723388671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.85557778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15386962890625 × 2 - 1) × π
    0.6922607421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17480126196271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85557778} λ = 0.85557778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17480126196271))-π/2
    2×atan(8.80043596701013)-π/2
    2×1.45765090290059-π/2
    2.91530180580117-1.57079632675     		φ = 1.34450548
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85557778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.020996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34450548 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.034490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83384 KachelY 20168 0.85557778 1.34450548 49.020996 77.034490
    Oben rechts KachelX + 1 83385 KachelY 20168 0.85562572 1.34450548 49.023743 77.034490
    Unten links KachelX 83384 KachelY + 1 20169 0.85557778 1.34449472 49.020996 77.033873
    Unten rechts KachelX + 1 83385 KachelY + 1 20169 0.85562572 1.34449472 49.023743 77.033873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34450548-1.34449472) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dl = 68.5519600006981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34450548-1.34449472) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dr = 68.5519600006981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85557778-0.85562572) × cos(1.34450548) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.224364485751672 × 6371000     		do = 68.5266890905378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85557778-0.85562572) × cos(1.34449472) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.2243749714157 × 6371000     		du = 68.5298916822328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34450548)-sin(1.34449472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224364485751672-0.2243749714157)×R²
    abs(0.85562572-0.85557778)×1.04856640275874e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.04856640275874e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.04856640275874e-05×40589641000000     		ar = 4697.74862155704m²