Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83383 / 20183
↖ ↑ ↗
← N 77.025243°
E 49.018250°		 ← 68.56 m → N 77.025243°
E 49.020996°		 →
↑
68.55 m
↓
↑
68.55 m
↓
N 77.024626°
E 49.018250°		 ← 68.56 m →
4 700 m²		 N 77.024626°
E 49.020996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83383 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636165618896484 y=0.153987884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636165618896484 × 217)
    floor (0.636165618896484 × 131072)
    floor (83383.5)     		tx = 83383
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153987884521484 × 217)
    floor (0.153987884521484 × 131072)
    floor (20183.5)     		ty = 20183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83383 / 20183 ti = "17/83383/20183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83383/20183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83383 ÷ 217
    83383 ÷ 131072     		x = 0.636161804199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20183 ÷ 217
    20183 ÷ 131072     		y = 0.153984069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636161804199219 × 2 - 1) × π
    0.272323608398438 × 3.1415926535     		Λ = 0.85552985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153984069824219 × 2 - 1) × π
    0.692031860351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.17408220846841
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85552985} λ = 0.85552985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17408220846841))-π/2
    2×atan(8.79411025731106)-π/2
    2×1.45757020959839-π/2
    2.91514041919678-1.57079632675     		φ = 1.34434409
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85552985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.018250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34434409 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.025243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83383 KachelY 20183 0.85552985 1.34434409 49.018250 77.025243
    Oben rechts KachelX + 1 83384 KachelY 20183 0.85557778 1.34434409 49.020996 77.025243
    Unten links KachelX 83383 KachelY + 1 20184 0.85552985 1.34433333 49.018250 77.024626
    Unten rechts KachelX + 1 83384 KachelY + 1 20184 0.85557778 1.34433333 49.020996 77.024626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34434409-1.34433333) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dl = 68.5519600006981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34434409-1.34433333) × R
    1.07600000001096e-05 × 6371000     		dr = 68.5519600006981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85552985-0.85557778) × cos(1.34434409) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.224521758239194 × 6371000     		do = 68.5604198749727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85552985-0.85557778) × cos(1.34433333) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.224532243513454 × 6371000     		du = 68.5636216796059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34434409)-sin(1.34433333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.224521758239194-0.224532243513454)×R²
    abs(0.85557778-0.85552985)×1.04852742603412e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.04852742603412e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.04852742603412e-05×40589641000000     		ar = 4700.06090601755m²