Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83382 / 20534
↖ ↑ ↗
← N 76.807009°
E 49.015503°		 ← 69.71 m → N 76.807009°
E 49.018250°		 →
↑
69.70 m
↓
↑
69.70 m
↓
N 76.806382°
E 49.015503°		 ← 69.71 m →
4 859 m²		 N 76.806382°
E 49.018250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83382 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636157989501953 y=0.156665802001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636157989501953 × 217)
    floor (0.636157989501953 × 131072)
    floor (83382.5)     		tx = 83382
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156665802001953 × 217)
    floor (0.156665802001953 × 131072)
    floor (20534.5)     		ty = 20534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83382 / 20534 ti = "17/83382/20534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83382/20534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83382 ÷ 217
    83382 ÷ 131072     		x = 0.636154174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20534 ÷ 217
    20534 ÷ 131072     		y = 0.156661987304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636154174804688 × 2 - 1) × π
    0.272308349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85548191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156661987304688 × 2 - 1) × π
    0.686676025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.15725635670177
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85548191} λ = 0.85548191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15725635670177))-π/2
    2×atan(8.64737975624664)-π/2
    2×1.45566575897543-π/2
    2.91133151795087-1.57079632675     		φ = 1.34053519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85548191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.015503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34053519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.807009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83382 KachelY 20534 0.85548191 1.34053519 49.015503 76.807009
    Oben rechts KachelX + 1 83383 KachelY 20534 0.85552985 1.34053519 49.018250 76.807009
    Unten links KachelX 83382 KachelY + 1 20535 0.85548191 1.34052425 49.015503 76.806382
    Unten rechts KachelX + 1 83383 KachelY + 1 20535 0.85552985 1.34052425 49.018250 76.806382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34053519-1.34052425) × R
    1.09399999999038e-05 × 6371000     		dl = 69.6987399993871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34053519-1.34052425) × R
    1.09399999999038e-05 × 6371000     		dr = 69.6987399993871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85548191-0.85552985) × cos(1.34053519) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.228231775880819 × 6371000     		do = 69.7078590400289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85548191-0.85552985) × cos(1.34052425) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.228242427125864 × 6371000     		du = 69.7111122044289m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34053519)-sin(1.34052425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228231775880819-0.228242427125864)×R²
    abs(0.85552985-0.85548191)×1.06512450455398e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.06512450455398e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.06512450455398e-05×40589641000000     		ar = 4858.66331387801m²