Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83381 / 20531
↖ ↑ ↗
← N 76.808889°
E 49.012756°		 ← 69.70 m → N 76.808889°
E 49.015503°		 →
↑
69.70 m
↓
↑
69.70 m
↓
N 76.808262°
E 49.012756°		 ← 69.70 m →
4 858 m²		 N 76.808262°
E 49.015503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636150360107422 y=0.156642913818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636150360107422 × 217)
    floor (0.636150360107422 × 131072)
    floor (83381.5)     		tx = 83381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156642913818359 × 217)
    floor (0.156642913818359 × 131072)
    floor (20531.5)     		ty = 20531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83381 / 20531 ti = "17/83381/20531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83381/20531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83381 ÷ 217
    83381 ÷ 131072     		x = 0.636146545410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20531 ÷ 217
    20531 ÷ 131072     		y = 0.156639099121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636146545410156 × 2 - 1) × π
    0.272293090820312 × 3.1415926535     		Λ = 0.85543397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156639099121094 × 2 - 1) × π
    0.686721801757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.15740016740063
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85543397} λ = 0.85543397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15740016740063))-π/2
    2×atan(8.64862343139745)-π/2
    2×1.4556821689121-π/2
    2.9113643378242-1.57079632675     		φ = 1.34056801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85543397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.012756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34056801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.808889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83381 KachelY 20531 0.85543397 1.34056801 49.012756 76.808889
    Oben rechts KachelX + 1 83382 KachelY 20531 0.85548191 1.34056801 49.015503 76.808889
    Unten links KachelX 83381 KachelY + 1 20532 0.85543397 1.34055707 49.012756 76.808262
    Unten rechts KachelX + 1 83382 KachelY + 1 20532 0.85548191 1.34055707 49.015503 76.808262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34056801-1.34055707) × R
    1.09399999999038e-05 × 6371000     		dl = 69.6987399993871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34056801-1.34055707) × R
    1.09399999999038e-05 × 6371000     		dr = 69.6987399993871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85543397-0.85548191) × cos(1.34056801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228199821981793 × 6371000     		do = 69.6980994966118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85543397-0.85548191) × cos(1.34055707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.228210473308782 × 6371000     		du = 69.7013526860393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34056801)-sin(1.34055707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228199821981793-0.228210473308782)×R²
    abs(0.85548191-0.85543397)×1.065132698852e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.065132698852e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.065132698852e-05×40589641000000     		ar = 4857.98308677275m²