Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83380 / 20532
↖ ↑ ↗
← N 76.808262°
E 49.010010°		 ← 69.69 m → N 76.808262°
E 49.012756°		 →
↑
69.70 m
↓
↑
69.70 m
↓
N 76.807635°
E 49.010010°		 ← 69.69 m →
4 857 m²		 N 76.807635°
E 49.012756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636142730712891 y=0.156650543212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636142730712891 × 217)
    floor (0.636142730712891 × 131072)
    floor (83380.5)     		tx = 83380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156650543212891 × 217)
    floor (0.156650543212891 × 131072)
    floor (20532.5)     		ty = 20532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83380 / 20532 ti = "17/83380/20532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83380/20532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83380 ÷ 217
    83380 ÷ 131072     		x = 0.636138916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20532 ÷ 217
    20532 ÷ 131072     		y = 0.156646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636138916015625 × 2 - 1) × π
    0.27227783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.85538604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156646728515625 × 2 - 1) × π
    0.68670654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15735223050101
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85538604} λ = 0.85538604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15735223050101))-π/2
    2×atan(8.64820885314104)-π/2
    2×1.4556766991885-π/2
    2.911353398377-1.57079632675     		φ = 1.34055707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85538604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.010010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34055707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.808262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83380 KachelY 20532 0.85538604 1.34055707 49.010010 76.808262
    Oben rechts KachelX + 1 83381 KachelY 20532 0.85543397 1.34055707 49.012756 76.808262
    Unten links KachelX 83380 KachelY + 1 20533 0.85538604 1.34054613 49.010010 76.807635
    Unten rechts KachelX + 1 83381 KachelY + 1 20533 0.85543397 1.34054613 49.012756 76.807635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34055707-1.34054613) × R
    1.09400000001258e-05 × 6371000     		dl = 69.6987400008018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34055707-1.34054613) × R
    1.09400000001258e-05 × 6371000     		dr = 69.6987400008018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85538604-0.85543397) × cos(1.34055707) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228210473308782 × 6371000     		do = 69.6868133968731m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85538604-0.85543397) × cos(1.34054613) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.228221124608458 × 6371000     		du = 69.6900658993642m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34055707)-sin(1.34054613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.228210473308782-0.228221124608458)×R²
    abs(0.85543397-0.85538604)×1.06512996757013e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.06512996757013e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.06512996757013e-05×40589641000000     		ar = 4857.19643628956m²