Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8338 / 24906
↖ ↑ ↗
← N 39.597223°
W134.197998°		 ← 470.69 m → N 39.597223°
W134.192505°		 →
↑
470.69 m
↓
↑
470.69 m
↓
N 39.592990°
W134.197998°		 ← 470.72 m →
221 555 m²		 N 39.592990°
W134.192505°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127235412597656 y=0.380043029785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127235412597656 × 216)
    floor (0.127235412597656 × 65536)
    floor (8338.5)     		tx = 8338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380043029785156 × 216)
    floor (0.380043029785156 × 65536)
    floor (24906.5)     		ty = 24906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8338 / 24906 ti = "16/8338/24906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8338/24906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8338 ÷ 216
    8338 ÷ 65536     		x = 0.127227783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24906 ÷ 216
    24906 ÷ 65536     		y = 0.380035400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127227783203125 × 2 - 1) × π
    -0.74554443359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34219692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380035400390625 × 2 - 1) × π
    0.23992919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.753759809625763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34219692} λ = -2.34219692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.753759809625763))-π/2
    2×atan(2.12497451555775)-π/2
    2×1.130949123525-π/2
    2.26189824705-1.57079632675     		φ = 0.69110192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34219692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.197998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69110192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.597223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8338 KachelY 24906 -2.34219692 0.69110192 -134.197998 39.597223
    Oben rechts KachelX + 1 8339 KachelY 24906 -2.34210104 0.69110192 -134.192505 39.597223
    Unten links KachelX 8338 KachelY + 1 24907 -2.34219692 0.69102804 -134.197998 39.592990
    Unten rechts KachelX + 1 8339 KachelY + 1 24907 -2.34210104 0.69102804 -134.192505 39.592990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69110192-0.69102804) × R
    7.38800000000817e-05 × 6371000     		dl = 470.68948000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69110192-0.69102804) × R
    7.38800000000817e-05 × 6371000     		dr = 470.68948000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34219692--2.34210104) × cos(0.69110192) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.770544133853134 × 6371000     		do = 470.688024569196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34219692--2.34210104) × cos(0.69102804) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.770591221875659 × 6371000     		du = 470.716788357446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69110192)-sin(0.69102804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770544133853134-0.770591221875659)×R²
    abs(-2.34210104--2.34219692)×4.70880225251769e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.70880225251769e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.70880225251769e-05×40589641000000     		ar = 221554.671033799m²