Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83373 / 20503
↖ ↑ ↗
← N 76.826427°
E 48.990784°		 ← 69.61 m → N 76.826427°
E 48.993531°		 →
↑
69.64 m
↓
↑
69.64 m
↓
N 76.825801°
E 48.990784°		 ← 69.61 m →
4 847 m²		 N 76.825801°
E 48.993531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.636089324951172 y=0.156429290771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.636089324951172 × 217)
    floor (0.636089324951172 × 131072)
    floor (83373.5)     		tx = 83373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156429290771484 × 217)
    floor (0.156429290771484 × 131072)
    floor (20503.5)     		ty = 20503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83373 / 20503 ti = "17/83373/20503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83373/20503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83373 ÷ 217
    83373 ÷ 131072     		x = 0.636085510253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20503 ÷ 217
    20503 ÷ 131072     		y = 0.156425476074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.636085510253906 × 2 - 1) × π
    0.272171020507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.85505048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156425476074219 × 2 - 1) × π
    0.687149047851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.15874240058999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85505048} λ = 0.85505048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15874240058999))-π/2
    2×atan(8.66023969493261)-π/2
    2×1.45583521757136-π/2
    2.91167043514272-1.57079632675     		φ = 1.34087411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85505048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.990784°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34087411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.826427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83373 KachelY 20503 0.85505048 1.34087411 48.990784 76.826427
    Oben rechts KachelX + 1 83374 KachelY 20503 0.85509842 1.34087411 48.993531 76.826427
    Unten links KachelX 83373 KachelY + 1 20504 0.85505048 1.34086318 48.990784 76.825801
    Unten rechts KachelX + 1 83374 KachelY + 1 20504 0.85509842 1.34086318 48.993531 76.825801
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34087411-1.34086318) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dl = 69.6350299997743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34087411-1.34086318) × R
    1.09299999999646e-05 × 6371000     		dr = 69.6350299997743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85505048-0.85509842) × cos(1.34087411) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.227901787952702 × 6371000     		do = 69.6070722328926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85505048-0.85509842) × cos(1.34086318) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.227912430306574 × 6371000     		du = 69.6103226816992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34087411)-sin(1.34086318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227901787952702-0.227912430306574)×R²
    abs(0.85509842-0.85505048)×1.06423538716038e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.06423538716038e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.06423538716038e-05×40589641000000     		ar = 4847.20373559518m²