Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8334 / 25122
↖ ↑ ↗
← N 38.676933°
W134.219971°		 ← 476.83 m → N 38.676933°
W134.214478°		 →
↑
476.87 m
↓
↑
476.87 m
↓
N 38.672645°
W134.219971°		 ← 476.86 m →
227 393 m²		 N 38.672645°
W134.214478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8334 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127174377441406 y=0.383338928222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127174377441406 × 216)
    floor (0.127174377441406 × 65536)
    floor (8334.5)     		tx = 8334
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.383338928222656 × 216)
    floor (0.383338928222656 × 65536)
    floor (25122.5)     		ty = 25122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8334 / 25122 ti = "16/8334/25122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8334/25122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8334 ÷ 216
    8334 ÷ 65536     		x = 0.127166748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25122 ÷ 216
    25122 ÷ 65536     		y = 0.383331298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.74566650390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34258041
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.383331298828125 × 2 - 1) × π
    0.23333740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.733051068989899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34258041} λ = -2.34258041}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.733051068989899))-π/2
    2×atan(2.08142149008363)-π/2
    2×1.12291807998109-π/2
    2.24583615996218-1.57079632675     		φ = 0.67503983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34258041} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.219971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67503983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.676933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8334 KachelY 25122 -2.34258041 0.67503983 -134.219971 38.676933
    Oben rechts KachelX + 1 8335 KachelY 25122 -2.34248454 0.67503983 -134.214478 38.676933
    Unten links KachelX 8334 KachelY + 1 25123 -2.34258041 0.67496498 -134.219971 38.672645
    Unten rechts KachelX + 1 8335 KachelY + 1 25123 -2.34248454 0.67496498 -134.214478 38.672645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67503983-0.67496498) × R
    7.48499999999597e-05 × 6371000     		dl = 476.869349999743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67503983-0.67496498) × R
    7.48499999999597e-05 × 6371000     		dr = 476.869349999743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34258041--2.34248454) × cos(0.67503983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.78068206085306 × 6371000     		do = 476.831055027434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34258041--2.34248454) × cos(0.67496498) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.780728834557745 × 6371000     		du = 476.859623834213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67503983)-sin(0.67496498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.78068206085306-0.780728834557745)×R²
    abs(-2.34248454--2.34258041)×4.67737046844219e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.67737046844219e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.67737046844219e-05×40589641000000     		ar = 227392.927171265m²