Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8331 / 8429
↖ ↑ ↗
← N 78.923998°
W134.236450°		 ← 117.34 m → N 78.923998°
W134.230957°		 →
↑
117.35 m
↓
↑
117.35 m
↓
N 78.922942°
W134.236450°		 ← 117.35 m →
13 771 m²		 N 78.922942°
W134.230957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127128601074219 y=0.128623962402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127128601074219 × 216)
    floor (0.127128601074219 × 65536)
    floor (8331.5)     		tx = 8331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.128623962402344 × 216)
    floor (0.128623962402344 × 65536)
    floor (8429.5)     		ty = 8429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8331 / 8429 ti = "16/8331/8429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8331/8429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8331 ÷ 216
    8331 ÷ 65536     		x = 0.127120971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8429 ÷ 216
    8429 ÷ 65536     		y = 0.128616333007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127120971679688 × 2 - 1) × π
    -0.745758056640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34286803
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128616333007812 × 2 - 1) × π
    0.742767333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33347239970509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34286803} λ = -2.34286803}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33347239970509))-π/2
    2×atan(10.3136926894216)-π/2
    2×1.47413997503092-π/2
    2.94827995006183-1.57079632675     		φ = 1.37748362
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34286803} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.236450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37748362 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.923998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8331 KachelY 8429 -2.34286803 1.37748362 -134.236450 78.923998
    Oben rechts KachelX + 1 8332 KachelY 8429 -2.34277216 1.37748362 -134.230957 78.923998
    Unten links KachelX 8331 KachelY + 1 8430 -2.34286803 1.37746520 -134.236450 78.922942
    Unten rechts KachelX + 1 8332 KachelY + 1 8430 -2.34277216 1.37746520 -134.230957 78.922942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37748362-1.37746520) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dl = 117.353819999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37748362-1.37746520) × R
    1.84199999999635e-05 × 6371000     		dr = 117.353819999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34286803--2.34277216) × cos(1.37748362) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192110944858581 × 6371000     		do = 117.339015602763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34286803--2.34277216) × cos(1.37746520) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.192129021720588 × 6371000     		du = 117.350056728997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37748362)-sin(1.37746520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192110944858581-0.192129021720588)×R²
    abs(-2.34277216--2.34286803)×1.8076862006805e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.8076862006805e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.8076862006805e-05×40589641000000     		ar = 13770.8295756041m²