Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 833 / 412
↖ ↑ ↗
← N 33.137551°
E112.851562°		 ← 32.734 km → N 33.137551°
E113.203125°		 →
↑
32.789 km
↓
↑
32.789 km
↓
N 32.842674°
E112.851562°		 ← 32.844 km →
1 075.11 km²		 N 32.842674°
E113.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81396484375 y=0.40283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81396484375 × 210)
    floor (0.81396484375 × 1024)
    floor (833.5)     		tx = 833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.40283203125 × 210)
    floor (0.40283203125 × 1024)
    floor (412.5)     		ty = 412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 833 / 412 ti = "10/833/412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/833/412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 833 ÷ 210
    833 ÷ 1024     		x = 0.8134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 412 ÷ 210
    412 ÷ 1024     		y = 0.40234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8134765625 × 2 - 1) × π
    0.626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.96963133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.40234375 × 2 - 1) × π
    0.1953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.613592315136719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96963133} λ = 1.96963133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.613592315136719))-π/2
    2×atan(1.84705469771943)-π/2
    2×1.07457785056741-π/2
    2.14915570113482-1.57079632675     		φ = 0.57835937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96963133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.57835937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.137551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 833 KachelY 412 1.96963133 0.57835937 112.851562 33.137551
    Oben rechts KachelX + 1 834 KachelY 412 1.97576725 0.57835937 113.203125 33.137551
    Unten links KachelX 833 KachelY + 1 413 1.96963133 0.57321279 112.851562 32.842674
    Unten rechts KachelX + 1 834 KachelY + 1 413 1.97576725 0.57321279 113.203125 32.842674
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.57835937-0.57321279) × R
    0.00514658000000001 × 6371000     		dl = 32788.8611800001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.57835937-0.57321279) × R
    0.00514658000000001 × 6371000     		dr = 32788.8611800001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96963133-1.97576725) × cos(0.57835937) × R
    0.00613592000000018 × 0.837360628284139 × 6371000     		do = 32734.056731366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96963133-1.97576725) × cos(0.57321279) × R
    0.00613592000000018 × 0.840162908639566 × 6371000     		du = 32843.6033245939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.57835937)-sin(0.57321279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837360628284139-0.840162908639566)×R²
    abs(1.97576725-1.96963133)×0.00280228035542629×R²
    0.00613592000000018×0.00280228035542629×6371000²
    0.00613592000000018×0.00280228035542629×40589641000000     		ar = 1075110769.10694m²