Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83264 / 20032
↖ ↑ ↗
← N 77.118032°
E 48.691406°		 ← 68.08 m → N 77.118032°
E 48.694153°		 →
↑
68.11 m
↓
↑
68.11 m
↓
N 77.117419°
E 48.691406°		 ← 68.08 m →
4 637 m²		 N 77.117419°
E 48.694153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.635257720947266 y=0.152835845947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.635257720947266 × 217)
    floor (0.635257720947266 × 131072)
    floor (83264.5)     		tx = 83264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152835845947266 × 217)
    floor (0.152835845947266 × 131072)
    floor (20032.5)     		ty = 20032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83264 / 20032 ti = "17/83264/20032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83264/20032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83264 ÷ 217
    83264 ÷ 131072     		x = 0.63525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20032 ÷ 217
    20032 ÷ 131072     		y = 0.15283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63525390625 × 2 - 1) × π
    0.2705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84982536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15283203125 × 2 - 1) × π
    0.6943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18132068031103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84982536} λ = 0.84982536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18132068031103))-π/2
    2×atan(8.8579971194677)-π/2
    2×1.45837994727934-π/2
    2.91675989455868-1.57079632675     		φ = 1.34596357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84982536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.691406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34596357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.118032°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83264 KachelY 20032 0.84982536 1.34596357 48.691406 77.118032
    Oben rechts KachelX + 1 83265 KachelY 20032 0.84987329 1.34596357 48.694153 77.118032
    Unten links KachelX 83264 KachelY + 1 20033 0.84982536 1.34595288 48.691406 77.117419
    Unten rechts KachelX + 1 83265 KachelY + 1 20033 0.84987329 1.34595288 48.694153 77.117419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34596357-1.34595288) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dl = 68.1059900005792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34596357-1.34595288) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dr = 68.1059900005792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84982536-0.84987329) × cos(1.34596357) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222943331321548 × 6371000     		do = 68.0784282273523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84982536-0.84987329) × cos(1.34595288) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222953752256545 × 6371000     		du = 68.0816103852173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34596357)-sin(1.34595288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222943331321548-0.222953752256545)×R²
    abs(0.84987329-0.84982536)×1.04209349963968e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04209349963968e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04209349963968e-05×40589641000000     		ar = 4636.65711413887m²