Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8325 / 25090
↖ ↑ ↗
← N 38.814031°
W134.269409°		 ← 475.92 m → N 38.814031°
W134.263916°		 →
↑
475.98 m
↓
↑
475.98 m
↓
N 38.809751°
W134.269409°		 ← 475.94 m →
226 532 m²		 N 38.809751°
W134.263916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8325 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127037048339844 y=0.382850646972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127037048339844 × 216)
    floor (0.127037048339844 × 65536)
    floor (8325.5)     		tx = 8325
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.382850646972656 × 216)
    floor (0.382850646972656 × 65536)
    floor (25090.5)     		ty = 25090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8325 / 25090 ti = "16/8325/25090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8325/25090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8325 ÷ 216
    8325 ÷ 65536     		x = 0.127029418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25090 ÷ 216
    25090 ÷ 65536     		y = 0.382843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127029418945312 × 2 - 1) × π
    -0.745941162109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34344327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.382843017578125 × 2 - 1) × π
    0.23431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.736119030565582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34344327} λ = -2.34344327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.736119030565582))-π/2
    2×atan(2.08781701683675)-π/2
    2×1.12411448284551-π/2
    2.24822896569103-1.57079632675     		φ = 0.67743264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34344327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.269409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67743264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.814031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8325 KachelY 25090 -2.34344327 0.67743264 -134.269409 38.814031
    Oben rechts KachelX + 1 8326 KachelY 25090 -2.34334740 0.67743264 -134.263916 38.814031
    Unten links KachelX 8325 KachelY + 1 25091 -2.34344327 0.67735793 -134.269409 38.809751
    Unten rechts KachelX + 1 8326 KachelY + 1 25091 -2.34334740 0.67735793 -134.263916 38.809751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67743264-0.67735793) × R
    7.47100000000334e-05 × 6371000     		dl = 475.977410000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67743264-0.67735793) × R
    7.47100000000334e-05 × 6371000     		dr = 475.977410000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34344327--2.34334740) × cos(0.67743264) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.77918449241498 × 6371000     		do = 475.916358540717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34344327--2.34334740) × cos(0.67735793) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.779231318068309 × 6371000     		du = 475.944959077093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67743264)-sin(0.67735793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77918449241498-0.779231318068309)×R²
    abs(-2.34334740--2.34344327)×4.68256533293632e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68256533293632e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68256533293632e-05×40589641000000     		ar = 226532.242424792m²