Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83228 / 20236
↖ ↑ ↗
← N 76.992519°
E 48.592529°		 ← 68.73 m → N 76.992519°
E 48.595276°		 →
↑
68.74 m
↓
↑
68.74 m
↓
N 76.991900°
E 48.592529°		 ← 68.73 m →
4 725 m²		 N 76.991900°
E 48.595276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634983062744141 y=0.154392242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634983062744141 × 217)
    floor (0.634983062744141 × 131072)
    floor (83228.5)     		tx = 83228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154392242431641 × 217)
    floor (0.154392242431641 × 131072)
    floor (20236.5)     		ty = 20236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83228 / 20236 ti = "17/83228/20236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83228/20236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83228 ÷ 217
    83228 ÷ 131072     		x = 0.634979248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20236 ÷ 217
    20236 ÷ 131072     		y = 0.154388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634979248046875 × 2 - 1) × π
    0.26995849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.84809963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154388427734375 × 2 - 1) × π
    0.69122314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.17154155278854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84809963} λ = 0.84809963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17154155278854))-π/2
    2×atan(8.77179580980357)-π/2
    2×1.45728464001735-π/2
    2.9145692800347-1.57079632675     		φ = 1.34377295
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84809963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.592529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34377295 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.992519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83228 KachelY 20236 0.84809963 1.34377295 48.592529 76.992519
    Oben rechts KachelX + 1 83229 KachelY 20236 0.84814756 1.34377295 48.595276 76.992519
    Unten links KachelX 83228 KachelY + 1 20237 0.84809963 1.34376216 48.592529 76.991900
    Unten rechts KachelX + 1 83229 KachelY + 1 20237 0.84814756 1.34376216 48.595276 76.991900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34377295-1.34376216) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dl = 68.7430899995365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34377295-1.34376216) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dr = 68.7430899995365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84809963-0.84814756) × cos(1.34377295) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.225078279857403 × 6371000     		do = 68.7303604462067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84809963-0.84814756) × cos(1.34376216) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.225088792980278 × 6371000     		du = 68.7335707547494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34377295)-sin(1.34376216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225078279857403-0.225088792980278)×R²
    abs(0.84814756-0.84809963)×1.05131228747002e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05131228747002e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05131228747002e-05×40589641000000     		ar = 4724.84769705627m²