Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83227 / 20229
↖ ↑ ↗
← N 76.996846°
E 48.589783°		 ← 68.72 m → N 76.996846°
E 48.592529°		 →
↑
68.74 m
↓
↑
68.74 m
↓
N 76.996227°
E 48.589783°		 ← 68.73 m →
4 724 m²		 N 76.996227°
E 48.592529°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634975433349609 y=0.154338836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634975433349609 × 217)
    floor (0.634975433349609 × 131072)
    floor (83227.5)     		tx = 83227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154338836669922 × 217)
    floor (0.154338836669922 × 131072)
    floor (20229.5)     		ty = 20229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83227 / 20229 ti = "17/83227/20229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83227/20229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83227 ÷ 217
    83227 ÷ 131072     		x = 0.634971618652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20229 ÷ 217
    20229 ÷ 131072     		y = 0.154335021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634971618652344 × 2 - 1) × π
    0.269943237304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.84805169
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154335021972656 × 2 - 1) × π
    0.691329956054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.17187711108588
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84805169} λ = 0.84805169}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17187711108588))-π/2
    2×atan(8.77473975257472)-π/2
    2×1.45732239728629-π/2
    2.91464479457259-1.57079632675     		φ = 1.34384847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84805169} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.589783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34384847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.996846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83227 KachelY 20229 0.84805169 1.34384847 48.589783 76.996846
    Oben rechts KachelX + 1 83228 KachelY 20229 0.84809963 1.34384847 48.592529 76.996846
    Unten links KachelX 83227 KachelY + 1 20230 0.84805169 1.34383768 48.589783 76.996227
    Unten rechts KachelX + 1 83228 KachelY + 1 20230 0.84809963 1.34383768 48.592529 76.996227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34384847-1.34383768) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dl = 68.7430899995365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34384847-1.34383768) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dr = 68.7430899995365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84805169-0.84809963) × cos(1.34384847) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225004697007198 × 6371000     		do = 68.7222260868541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84805169-0.84809963) × cos(1.34383768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225015210313454 × 6371000     		du = 68.7254371211973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34384847)-sin(1.34383768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225004697007198-0.225015210313454)×R²
    abs(0.84809963-0.84805169)×1.05133062564822e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05133062564822e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05133062564822e-05×40589641000000     		ar = 4724.28854113244m²