Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83225 / 20245
↖ ↑ ↗
← N 76.986954°
E 48.584290°		 ← 68.76 m → N 76.986954°
E 48.587036°		 →
↑
68.81 m
↓
↑
68.81 m
↓
N 76.986335°
E 48.584290°		 ← 68.76 m →
4 731 m²		 N 76.986335°
E 48.587036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634960174560547 y=0.154460906982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634960174560547 × 217)
    floor (0.634960174560547 × 131072)
    floor (83225.5)     		tx = 83225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154460906982422 × 217)
    floor (0.154460906982422 × 131072)
    floor (20245.5)     		ty = 20245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83225 / 20245 ti = "17/83225/20245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83225/20245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83225 ÷ 217
    83225 ÷ 131072     		x = 0.634956359863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20245 ÷ 217
    20245 ÷ 131072     		y = 0.154457092285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634956359863281 × 2 - 1) × π
    0.269912719726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.84795582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154457092285156 × 2 - 1) × π
    0.691085815429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.17111012069196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84795582} λ = 0.84795582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17111012069196))-π/2
    2×atan(8.76801219179239)-π/2
    2×1.45723607681468-π/2
    2.91447215362936-1.57079632675     		φ = 1.34367583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84795582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.584290°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34367583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.986954°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83225 KachelY 20245 0.84795582 1.34367583 48.584290 76.986954
    Oben rechts KachelX + 1 83226 KachelY 20245 0.84800375 1.34367583 48.587036 76.986954
    Unten links KachelX 83225 KachelY + 1 20246 0.84795582 1.34366503 48.584290 76.986335
    Unten rechts KachelX + 1 83226 KachelY + 1 20246 0.84800375 1.34366503 48.587036 76.986335
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34367583-1.34366503) × R
    1.08000000000885e-05 × 6371000     		dl = 68.8068000005639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34367583-1.34366503) × R
    1.08000000000885e-05 × 6371000     		dr = 68.8068000005639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84795582-0.84800375) × cos(1.34367583) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.225172906762954 × 6371000     		do = 68.7592559100191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84795582-0.84800375) × cos(1.34366503) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.225183429393072 × 6371000     		du = 68.7624691217131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34367583)-sin(1.34366503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225172906762954-0.225183429393072)×R²
    abs(0.84800375-0.84795582)×1.05226301185535e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.05226301185535e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.05226301185535e-05×40589641000000     		ar = 4731.21491514694m²