Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83224 / 20246
↖ ↑ ↗
← N 76.986335°
E 48.581543°		 ← 68.78 m → N 76.986335°
E 48.584290°		 →
↑
68.74 m
↓
↑
68.74 m
↓
N 76.985717°
E 48.581543°		 ← 68.78 m →
4 728 m²		 N 76.985717°
E 48.584290°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20246 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634952545166016 y=0.154468536376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634952545166016 × 217)
    floor (0.634952545166016 × 131072)
    floor (83224.5)     		tx = 83224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154468536376953 × 217)
    floor (0.154468536376953 × 131072)
    floor (20246.5)     		ty = 20246
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83224 / 20246 ti = "17/83224/20246"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83224/20246.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83224 ÷ 217
    83224 ÷ 131072     		x = 0.63494873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20246 ÷ 217
    20246 ÷ 131072     		y = 0.154464721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63494873046875 × 2 - 1) × π
    0.2698974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.84790788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154464721679688 × 2 - 1) × π
    0.691070556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.17106218379234
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84790788} λ = 0.84790788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17106218379234))-π/2
    2×atan(8.76759189054613)-π/2
    2×1.45723067964305-π/2
    2.9144613592861-1.57079632675     		φ = 1.34366503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84790788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.581543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34366503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.986335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83224 KachelY 20246 0.84790788 1.34366503 48.581543 76.986335
    Oben rechts KachelX + 1 83225 KachelY 20246 0.84795582 1.34366503 48.584290 76.986335
    Unten links KachelX 83224 KachelY + 1 20247 0.84790788 1.34365424 48.581543 76.985717
    Unten rechts KachelX + 1 83225 KachelY + 1 20247 0.84795582 1.34365424 48.584290 76.985717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34366503-1.34365424) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dl = 68.7430899995365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34366503-1.34365424) × R
    1.07899999999272e-05 × 6371000     		dr = 68.7430899995365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84790788-0.84795582) × cos(1.34366503) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225183429393072 × 6371000     		do = 68.7768155582311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84790788-0.84795582) × cos(1.34365424) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225193942253786 × 6371000     		du = 68.780026456494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34366503)-sin(1.34365424))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225183429393072-0.225193942253786)×R²
    abs(0.84795582-0.84790788)×1.05128607134353e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.05128607134353e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05128607134353e-05×40589641000000     		ar = 4728.04118534161m²