Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8322 / 25217
↖ ↑ ↗
← S 69.166466°
W 88.571777°		 ← 434.48 m → S 69.166466°
W 88.560791°		 →
↑
434.44 m
↓
↑
434.44 m
↓
S 69.170373°
W 88.571777°		 ← 434.40 m →
188 738 m²		 S 69.170373°
W 88.560791°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.253982543945312 y=0.769577026367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.253982543945312 × 215)
    floor (0.253982543945312 × 32768)
    floor (8322.5)     		tx = 8322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769577026367188 × 215)
    floor (0.769577026367188 × 32768)
    floor (25217.5)     		ty = 25217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8322 / 25217 ti = "15/8322/25217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8322/25217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8322 ÷ 215
    8322 ÷ 32768     		x = 0.25396728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25217 ÷ 215
    25217 ÷ 32768     		y = 0.769561767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.25396728515625 × 2 - 1) × π
    -0.4920654296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.54586914
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769561767578125 × 2 - 1) × π
    -0.53912353515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69370653737582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.54586914} λ = -1.54586914}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69370653737582))-π/2
    2×atan(0.18383686141947)-π/2
    2×0.181806885147505-π/2
    0.36361377029501-1.57079632675     		φ = -1.20718256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.54586914} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.571777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20718256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.166466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8322 KachelY 25217 -1.54586914 -1.20718256 -88.571777 -69.166466
    Oben rechts KachelX + 1 8323 KachelY 25217 -1.54567739 -1.20718256 -88.560791 -69.166466
    Unten links KachelX 8322 KachelY + 1 25218 -1.54586914 -1.20725075 -88.571777 -69.170373
    Unten rechts KachelX + 1 8323 KachelY + 1 25218 -1.54567739 -1.20725075 -88.560791 -69.170373
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20718256--1.20725075) × R
    6.81900000001345e-05 × 6371000     		dl = 434.438490000857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20718256--1.20725075) × R
    6.81900000001345e-05 × 6371000     		dr = 434.438490000857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.54586914--1.54567739) × cos(-1.20718256) × R
    0.000191749999999935 × 0.355654038551823 × 6371000     		do = 434.480932915774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.54586914--1.54567739) × cos(-1.20725075) × R
    0.000191749999999935 × 0.355590306145506 × 6371000     		du = 434.403074906719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20718256)-sin(-1.20725075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355654038551823-0.355590306145506)×R²
    abs(-1.54567739--1.54586914)×6.37324063175182e-05×R²
    0.000191749999999935×6.37324063175182e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.37324063175182e-05×40589641000000     		ar = 188738.328245765m²