Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83207 / 20231
↖ ↑ ↗
← N 76.995609°
E 48.534851°		 ← 68.73 m → N 76.995609°
E 48.537598°		 →
↑
68.68 m
↓
↑
68.68 m
↓
N 76.994992°
E 48.534851°		 ← 68.73 m →
4 720 m²		 N 76.994992°
E 48.537598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83207 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634822845458984 y=0.154354095458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634822845458984 × 217)
    floor (0.634822845458984 × 131072)
    floor (83207.5)     		tx = 83207
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154354095458984 × 217)
    floor (0.154354095458984 × 131072)
    floor (20231.5)     		ty = 20231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83207 / 20231 ti = "17/83207/20231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83207/20231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83207 ÷ 217
    83207 ÷ 131072     		x = 0.634819030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20231 ÷ 217
    20231 ÷ 131072     		y = 0.154350280761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634819030761719 × 2 - 1) × π
    0.269638061523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.84709295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154350280761719 × 2 - 1) × π
    0.691299438476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.17178123728664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84709295} λ = 0.84709295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17178123728664))-π/2
    2×atan(8.77389852526376)-π/2
    2×1.45731161075481-π/2
    2.91462322150962-1.57079632675     		φ = 1.34382689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84709295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.534851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34382689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.995609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83207 KachelY 20231 0.84709295 1.34382689 48.534851 76.995609
    Oben rechts KachelX + 1 83208 KachelY 20231 0.84714089 1.34382689 48.537598 76.995609
    Unten links KachelX 83207 KachelY + 1 20232 0.84709295 1.34381611 48.534851 76.994992
    Unten rechts KachelX + 1 83208 KachelY + 1 20232 0.84714089 1.34381611 48.537598 76.994992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34382689-1.34381611) × R
    1.07800000002101e-05 × 6371000     		dl = 68.6793800013383m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34382689-1.34381611) × R
    1.07800000002101e-05 × 6371000     		dr = 68.6793800013383m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84709295-0.84714089) × cos(1.34382689) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225025723593514 × 6371000     		do = 68.7286481476984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84709295-0.84714089) × cos(1.34381611) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225036227103871 × 6371000     		du = 68.7318561901219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34382689)-sin(1.34381611))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225025723593514-0.225036227103871)×R²
    abs(0.84714089-0.84709295)×1.0503510357196e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0503510357196e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0503510357196e-05×40589641000000     		ar = 4720.3511064986m²