Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8319 / 25216
↖ ↑ ↗
← S 69.162558°
W 88.604736°		 ← 434.56 m → S 69.162558°
W 88.593750°		 →
↑
434.57 m
↓
↑
434.57 m
↓
S 69.166466°
W 88.604736°		 ← 434.48 m →
188 828 m²		 S 69.166466°
W 88.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8319 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.253890991210938 y=0.769546508789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.253890991210938 × 215)
    floor (0.253890991210938 × 32768)
    floor (8319.5)     		tx = 8319
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769546508789062 × 215)
    floor (0.769546508789062 × 32768)
    floor (25216.5)     		ty = 25216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8319 / 25216 ti = "15/8319/25216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8319/25216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8319 ÷ 215
    8319 ÷ 32768     		x = 0.253875732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25216 ÷ 215
    25216 ÷ 32768     		y = 0.76953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.253875732421875 × 2 - 1) × π
    -0.49224853515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.54644438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76953125 × 2 - 1) × π
    -0.5390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69351478977734
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.54644438} λ = -1.54644438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69351478977734))-π/2
    2×atan(0.183872115075954)-π/2
    2×0.18184098610722-π/2
    0.363681972214441-1.57079632675     		φ = -1.20711435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.54644438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.604736°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20711435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.162558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8319 KachelY 25216 -1.54644438 -1.20711435 -88.604736 -69.162558
    Oben rechts KachelX + 1 8320 KachelY 25216 -1.54625263 -1.20711435 -88.593750 -69.162558
    Unten links KachelX 8319 KachelY + 1 25217 -1.54644438 -1.20718256 -88.604736 -69.166466
    Unten rechts KachelX + 1 8320 KachelY + 1 25217 -1.54625263 -1.20718256 -88.593750 -69.166466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20711435--1.20718256) × R
    6.8210000000013e-05 × 6371000     		dl = 434.565910000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20711435--1.20718256) × R
    6.8210000000013e-05 × 6371000     		dr = 434.565910000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.54644438--1.54625263) × cos(-1.20711435) × R
    0.000191750000000157 × 0.355717787996262 × 6371000     		do = 434.558811739769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.54644438--1.54625263) × cos(-1.20718256) × R
    0.000191750000000157 × 0.355654038551823 × 6371000     		du = 434.480932916277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20711435)-sin(-1.20718256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355717787996262-0.355654038551823)×R²
    abs(-1.54625263--1.54644438)×6.37494444385989e-05×R²
    0.000191750000000157×6.37494444385989e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.37494444385989e-05×40589641000000     		ar = 188827.523804705m²