Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 8317 / 24926
↖ ↑ ↗
← N 39.512517°
W134.313355°		 ← 471.26 m → N 39.512517°
W134.307861°		 →
↑
471.26 m
↓
↑
471.26 m
↓
N 39.508279°
W134.313355°		 ← 471.29 m →
222 096 m²		 N 39.508279°
W134.307861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8317 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24926 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126914978027344 y=0.380348205566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126914978027344 × 216)
    floor (0.126914978027344 × 65536)
    floor (8317.5)     		tx = 8317
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.380348205566406 × 216)
    floor (0.380348205566406 × 65536)
    floor (24926.5)     		ty = 24926
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8317 / 24926 ti = "16/8317/24926"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8317/24926.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8317 ÷ 216
    8317 ÷ 65536     		x = 0.126907348632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24926 ÷ 216
    24926 ÷ 65536     		y = 0.380340576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126907348632812 × 2 - 1) × π
    -0.746185302734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34421027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380340576171875 × 2 - 1) × π
    0.23931884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.751842333640961
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34421027} λ = -2.34421027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.751842333640961))-π/2
    2×atan(2.12090383192214)-π/2
    2×1.13020992223411-π/2
    2.26041984446821-1.57079632675     		φ = 0.68962352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34421027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.313355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68962352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.512517°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8317 KachelY 24926 -2.34421027 0.68962352 -134.313355 39.512517
    Oben rechts KachelX + 1 8318 KachelY 24926 -2.34411439 0.68962352 -134.307861 39.512517
    Unten links KachelX 8317 KachelY + 1 24927 -2.34421027 0.68954955 -134.313355 39.508279
    Unten rechts KachelX + 1 8318 KachelY + 1 24927 -2.34411439 0.68954955 -134.307861 39.508279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68962352-0.68954955) × R
    7.39700000000898e-05 × 6371000     		dl = 471.262870000572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68962352-0.68954955) × R
    7.39700000000898e-05 × 6371000     		dr = 471.262870000572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34421027--2.34411439) × cos(0.68962352) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.771485603852687 × 6371000     		do = 471.263122911799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34421027--2.34411439) × cos(0.68954955) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.771532664916229 × 6371000     		du = 471.291870232114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68962352)-sin(0.68954955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.771485603852687-0.771532664916229)×R²
    abs(-2.34411439--2.34421027)×4.70610635414648e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.70610635414648e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.70610635414648e-05×40589641000000     		ar = 222095.585702125m²