Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83168 / 20320
↖ ↑ ↗
← N 76.940488°
E 48.427734°		 ← 69.01 m → N 76.940488°
E 48.430481°		 →
↑
69 m
↓
↑
69 m
↓
N 76.939868°
E 48.427734°		 ← 69.02 m →
4 762 m²		 N 76.939868°
E 48.430481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83168 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634525299072266 y=0.155033111572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634525299072266 × 217)
    floor (0.634525299072266 × 131072)
    floor (83168.5)     		tx = 83168
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155033111572266 × 217)
    floor (0.155033111572266 × 131072)
    floor (20320.5)     		ty = 20320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83168 / 20320 ti = "17/83168/20320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83168/20320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83168 ÷ 217
    83168 ÷ 131072     		x = 0.634521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20320 ÷ 217
    20320 ÷ 131072     		y = 0.155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634521484375 × 2 - 1) × π
    0.26904296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.84522341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155029296875 × 2 - 1) × π
    0.68994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16751485322046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84522341} λ = 0.84522341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16751485322046))-π/2
    2×atan(8.73654544235461)-π/2
    2×1.45683058865483-π/2
    2.91366117730966-1.57079632675     		φ = 1.34286485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84522341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.427734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34286485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.940488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83168 KachelY 20320 0.84522341 1.34286485 48.427734 76.940488
    Oben rechts KachelX + 1 83169 KachelY 20320 0.84527135 1.34286485 48.430481 76.940488
    Unten links KachelX 83168 KachelY + 1 20321 0.84522341 1.34285402 48.427734 76.939868
    Unten rechts KachelX + 1 83169 KachelY + 1 20321 0.84527135 1.34285402 48.430481 76.939868
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34286485-1.34285402) × R
    1.08299999999062e-05 × 6371000     		dl = 68.9979299994023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34286485-1.34285402) × R
    1.08299999999062e-05 × 6371000     		dr = 68.9979299994023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84522341-0.84527135) × cos(1.34286485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225962985705773 × 6371000     		do = 69.0149121217498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84522341-0.84527135) × cos(1.34285402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225973535584193 × 6371000     		du = 69.0181343261731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34286485)-sin(1.34285402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225962985705773-0.225973535584193)×R²
    abs(0.84527135-0.84522341)×1.05498784197244e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05498784197244e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05498784197244e-05×40589641000000     		ar = 4761.99723839422m²