Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8316 / 7740
↖ ↑ ↗
← N 79.628013°
W134.318848°		 ← 109.97 m → N 79.628013°
W134.313355°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
N 79.627024°
W134.318848°		 ← 109.98 m →
12 093 m²		 N 79.627024°
W134.313355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7740 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126899719238281 y=0.118110656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126899719238281 × 216)
    floor (0.126899719238281 × 65536)
    floor (8316.5)     		tx = 8316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118110656738281 × 216)
    floor (0.118110656738281 × 65536)
    floor (7740.5)     		ty = 7740
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8316 / 7740 ti = "16/8316/7740"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8316/7740.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8316 ÷ 216
    8316 ÷ 65536     		x = 0.12689208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7740 ÷ 216
    7740 ÷ 65536     		y = 0.11810302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12689208984375 × 2 - 1) × π
    -0.7462158203125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34430614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11810302734375 × 2 - 1) × π
    0.7637939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39952944738153
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34430614} λ = -2.34430614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39952944738153))-π/2
    2×atan(11.017990616315)-π/2
    2×1.48028366484646-π/2
    2.96056732969292-1.57079632675     		φ = 1.38977100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34430614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.318848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38977100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.628013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8316 KachelY 7740 -2.34430614 1.38977100 -134.318848 79.628013
    Oben rechts KachelX + 1 8317 KachelY 7740 -2.34421027 1.38977100 -134.313355 79.628013
    Unten links KachelX 8316 KachelY + 1 7741 -2.34430614 1.38975374 -134.318848 79.627024
    Unten rechts KachelX + 1 8317 KachelY + 1 7741 -2.34421027 1.38975374 -134.313355 79.627024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38977100-1.38975374) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dl = 109.963460000828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38977100-1.38975374) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dr = 109.963460000828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34430614--2.34421027) × cos(1.38977100) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180038240442836 × 6371000     		do = 109.965155394801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34430614--2.34421027) × cos(1.38975374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.180055218380919 × 6371000     		du = 109.975525311742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38977100)-sin(1.38975374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180038240442836-0.180055218380919)×R²
    abs(-2.34421027--2.34430614)×1.69779380823631e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69779380823631e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69779380823631e-05×40589641000000     		ar = 12092.7191230438m²