Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83145 / 16601
↖ ↑ ↗
← N 79.058787°
E 48.364563°		 ← 57.96 m → N 79.058787°
E 48.367309°		 →
↑
57.98 m
↓
↑
57.98 m
↓
N 79.058266°
E 48.364563°		 ← 57.96 m →
3 360 m²		 N 79.058266°
E 48.367309°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634349822998047 y=0.126659393310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634349822998047 × 217)
    floor (0.634349822998047 × 131072)
    floor (83145.5)     		tx = 83145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126659393310547 × 217)
    floor (0.126659393310547 × 131072)
    floor (16601.5)     		ty = 16601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83145 / 16601 ti = "17/83145/16601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83145/16601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83145 ÷ 217
    83145 ÷ 131072     		x = 0.634346008300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16601 ÷ 217
    16601 ÷ 131072     		y = 0.126655578613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634346008300781 × 2 - 1) × π
    0.268692016601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.84412087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126655578613281 × 2 - 1) × π
    0.746688842773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.34579218290745
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84412087} λ = 0.84412087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34579218290745))-π/2
    2×atan(10.4415410624568)-π/2
    2×1.47531623153369-π/2
    2.95063246306737-1.57079632675     		φ = 1.37983614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84412087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.364563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37983614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.058787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83145 KachelY 16601 0.84412087 1.37983614 48.364563 79.058787
    Oben rechts KachelX + 1 83146 KachelY 16601 0.84416880 1.37983614 48.367309 79.058787
    Unten links KachelX 83145 KachelY + 1 16602 0.84412087 1.37982704 48.364563 79.058266
    Unten rechts KachelX + 1 83146 KachelY + 1 16602 0.84416880 1.37982704 48.367309 79.058266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37983614-1.37982704) × R
    9.10000000020617e-06 × 6371000     		dl = 57.9761000013135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37983614-1.37982704) × R
    9.10000000020617e-06 × 6371000     		dr = 57.9761000013135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84412087-0.84416880) × cos(1.37983614) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189801715270664 × 6371000     		do = 57.9582370725673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84412087-0.84416880) × cos(1.37982704) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189810649847033 × 6371000     		du = 57.9609653529446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37983614)-sin(1.37982704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189801715270664-0.189810649847033)×R²
    abs(0.84416880-0.84412087)×8.93457636941264e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.93457636941264e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.93457636941264e-06×40589641000000     		ar = 3360.27163599775m²