Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83135 / 16599
↖ ↑ ↗
← N 79.059829°
E 48.337097°		 ← 57.95 m → N 79.059829°
E 48.339844°		 →
↑
57.98 m
↓
↑
57.98 m
↓
N 79.059308°
E 48.337097°		 ← 57.96 m →
3 360 m²		 N 79.059308°
E 48.339844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634273529052734 y=0.126644134521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634273529052734 × 217)
    floor (0.634273529052734 × 131072)
    floor (83135.5)     		tx = 83135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126644134521484 × 217)
    floor (0.126644134521484 × 131072)
    floor (16599.5)     		ty = 16599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83135 / 16599 ti = "17/83135/16599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83135/16599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83135 ÷ 217
    83135 ÷ 131072     		x = 0.634269714355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16599 ÷ 217
    16599 ÷ 131072     		y = 0.126640319824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634269714355469 × 2 - 1) × π
    0.268539428710938 × 3.1415926535     		Λ = 0.84364150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126640319824219 × 2 - 1) × π
    0.746719360351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.34588805670669
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84364150} λ = 0.84364150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34588805670669))-π/2
    2×atan(10.4425421806581)-π/2
    2×1.47532532961142-π/2
    2.95065065922284-1.57079632675     		φ = 1.37985433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84364150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.337097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37985433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.059829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83135 KachelY 16599 0.84364150 1.37985433 48.337097 79.059829
    Oben rechts KachelX + 1 83136 KachelY 16599 0.84368943 1.37985433 48.339844 79.059829
    Unten links KachelX 83135 KachelY + 1 16600 0.84364150 1.37984523 48.337097 79.059308
    Unten rechts KachelX + 1 83136 KachelY + 1 16600 0.84368943 1.37984523 48.339844 79.059308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37985433-1.37984523) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dl = 57.9760999998988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37985433-1.37984523) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dr = 57.9760999998988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84364150-0.84368943) × cos(1.37985433) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.189783855889033 × 6371000     		do = 57.9527834954037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84364150-0.84368943) × cos(1.37984523) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.189792790496819 × 6371000     		du = 57.9555117853745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37985433)-sin(1.37984523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189783855889033-0.189792790496819)×R²
    abs(0.84368943-0.84364150)×8.93460778611521e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.93460778611521e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.93460778611521e-06×40589641000000     		ar = 3359.95545894507m²