Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83134 / 16607
↖ ↑ ↗
← N 79.055659°
E 48.334351°		 ← 57.99 m → N 79.055659°
E 48.337097°		 →
↑
57.98 m
↓
↑
57.98 m
↓
N 79.055138°
E 48.334351°		 ← 57.99 m →
3 362 m²		 N 79.055138°
E 48.337097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634265899658203 y=0.126705169677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634265899658203 × 217)
    floor (0.634265899658203 × 131072)
    floor (83134.5)     		tx = 83134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126705169677734 × 217)
    floor (0.126705169677734 × 131072)
    floor (16607.5)     		ty = 16607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83134 / 16607 ti = "17/83134/16607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83134/16607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83134 ÷ 217
    83134 ÷ 131072     		x = 0.634262084960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16607 ÷ 217
    16607 ÷ 131072     		y = 0.126701354980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634262084960938 × 2 - 1) × π
    0.268524169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.84359356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126701354980469 × 2 - 1) × π
    0.746597290039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.34550456150973
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84359356} λ = 0.84359356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34550456150973))-π/2
    2×atan(10.4385382836745)-π/2
    2×1.47528893216146-π/2
    2.95057786432292-1.57079632675     		φ = 1.37978154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84359356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.334351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37978154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.055659°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83134 KachelY 16607 0.84359356 1.37978154 48.334351 79.055659
    Oben rechts KachelX + 1 83135 KachelY 16607 0.84364150 1.37978154 48.337097 79.055659
    Unten links KachelX 83134 KachelY + 1 16608 0.84359356 1.37977244 48.334351 79.055138
    Unten rechts KachelX + 1 83135 KachelY + 1 16608 0.84364150 1.37977244 48.337097 79.055138
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37978154-1.37977244) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dl = 57.9760999998988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37978154-1.37977244) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dr = 57.9760999998988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84359356-0.84364150) × cos(1.37978154) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.189855322493091 × 6371000     		do = 57.9867023654871m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84359356-0.84364150) × cos(1.37977244) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18986425697514 × 6371000     		du = 57.9894311862784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37978154)-sin(1.37977244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189855322493091-0.18986425697514)×R²
    abs(0.84364150-0.84359356)×8.93448204875025e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.93448204875025e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.93448204875025e-06×40589641000000     		ar = 3361.92195819543m²