Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83132 / 16203
↖ ↑ ↗
← N 79.264335°
E 48.328858°		 ← 56.88 m → N 79.264335°
E 48.331604°		 →
↑
56.89 m
↓
↑
56.89 m
↓
N 79.263824°
E 48.328858°		 ← 56.88 m →
3 236 m²		 N 79.263824°
E 48.331604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634250640869141 y=0.123622894287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634250640869141 × 217)
    floor (0.634250640869141 × 131072)
    floor (83132.5)     		tx = 83132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123622894287109 × 217)
    floor (0.123622894287109 × 131072)
    floor (16203.5)     		ty = 16203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83132 / 16203 ti = "17/83132/16203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83132/16203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83132 ÷ 217
    83132 ÷ 131072     		x = 0.634246826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16203 ÷ 217
    16203 ÷ 131072     		y = 0.123619079589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634246826171875 × 2 - 1) × π
    0.26849365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.84349769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123619079589844 × 2 - 1) × π
    0.752761840820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.36487106895623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84349769} λ = 0.84349769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36487106895623))-π/2
    2×atan(10.6426665589406)-π/2
    2×1.47710997756916-π/2
    2.95421995513831-1.57079632675     		φ = 1.38342363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84349769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.328858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38342363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.264335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83132 KachelY 16203 0.84349769 1.38342363 48.328858 79.264335
    Oben rechts KachelX + 1 83133 KachelY 16203 0.84354562 1.38342363 48.331604 79.264335
    Unten links KachelX 83132 KachelY + 1 16204 0.84349769 1.38341470 48.328858 79.263824
    Unten rechts KachelX + 1 83133 KachelY + 1 16204 0.84354562 1.38341470 48.331604 79.263824
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38342363-1.38341470) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dl = 56.8930299994079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38342363-1.38341470) × R
    8.92999999990707e-06 × 6371000     		dr = 56.8930299994079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84349769-0.84354562) × cos(1.38342363) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186278223250486 × 6371000     		do = 56.8822963965963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84349769-0.84354562) × cos(1.38341470) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.186286996941579 × 6371000     		du = 56.8849755487193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38342363)-sin(1.38341470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186278223250486-0.186286996941579)×R²
    abs(0.84354562-0.84349769)×8.77369109386628e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.77369109386628e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.77369109386628e-06×40589641000000     		ar = 3236.28240782034m²