Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83130 / 16610
↖ ↑ ↗
← N 79.054094°
E 48.323364°		 ← 57.99 m → N 79.054094°
E 48.326111°		 →
↑
57.98 m
↓
↑
57.98 m
↓
N 79.053573°
E 48.323364°		 ← 58 m →
3 362 m²		 N 79.053573°
E 48.326111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634235382080078 y=0.126728057861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634235382080078 × 217)
    floor (0.634235382080078 × 131072)
    floor (83130.5)     		tx = 83130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126728057861328 × 217)
    floor (0.126728057861328 × 131072)
    floor (16610.5)     		ty = 16610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83130 / 16610 ti = "17/83130/16610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83130/16610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83130 ÷ 217
    83130 ÷ 131072     		x = 0.634231567382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16610 ÷ 217
    16610 ÷ 131072     		y = 0.126724243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634231567382812 × 2 - 1) × π
    0.268463134765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.84340181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126724243164062 × 2 - 1) × π
    0.746551513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34536075081087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84340181} λ = 0.84340181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34536075081087))-π/2
    2×atan(10.4370372181261)-π/2
    2×1.47527527958417-π/2
    2.95055055916833-1.57079632675     		φ = 1.37975423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84340181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.323364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37975423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.054094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83130 KachelY 16610 0.84340181 1.37975423 48.323364 79.054094
    Oben rechts KachelX + 1 83131 KachelY 16610 0.84344975 1.37975423 48.326111 79.054094
    Unten links KachelX 83130 KachelY + 1 16611 0.84340181 1.37974513 48.323364 79.053573
    Unten rechts KachelX + 1 83131 KachelY + 1 16611 0.84344975 1.37974513 48.326111 79.053573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37975423-1.37974513) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dl = 57.9760999998988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37975423-1.37974513) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dr = 57.9760999998988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84340181-0.84344975) × cos(1.37975423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189882135710137 × 6371000     		do = 57.9948918120111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84340181-0.84344975) × cos(1.37974513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189891070144999 × 6371000     		du = 57.99762061839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37975423)-sin(1.37974513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189882135710137-0.189891070144999)×R²
    abs(0.84344975-0.84340181)×8.93443486130185e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.93443486130185e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.93443486130185e-06×40589641000000     		ar = 3362.39675012922m²