Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8312 / 7731
↖ ↑ ↗
← N 79.636910°
W134.340820°		 ← 109.87 m → N 79.636910°
W134.335327°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
N 79.635922°
W134.340820°		 ← 109.88 m →
12 075 m²		 N 79.635922°
W134.335327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126838684082031 y=0.117973327636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126838684082031 × 216)
    floor (0.126838684082031 × 65536)
    floor (8312.5)     		tx = 8312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.117973327636719 × 216)
    floor (0.117973327636719 × 65536)
    floor (7731.5)     		ty = 7731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8312 / 7731 ti = "16/8312/7731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8312/7731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8312 ÷ 216
    8312 ÷ 65536     		x = 0.1268310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7731 ÷ 216
    7731 ÷ 65536     		y = 0.117965698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1268310546875 × 2 - 1) × π
    -0.746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.34468963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.117965698242188 × 2 - 1) × π
    0.764068603515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.40039231157469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34468963} λ = -2.34468963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.40039231157469))-π/2
    2×atan(11.0275017487161)-π/2
    2×1.48036130616619-π/2
    2.96072261233239-1.57079632675     		φ = 1.38992629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34468963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.340820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38992629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.636910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8312 KachelY 7731 -2.34468963 1.38992629 -134.340820 79.636910
    Oben rechts KachelX + 1 8313 KachelY 7731 -2.34459376 1.38992629 -134.335327 79.636910
    Unten links KachelX 8312 KachelY + 1 7732 -2.34468963 1.38990904 -134.340820 79.635922
    Unten rechts KachelX + 1 8313 KachelY + 1 7732 -2.34459376 1.38990904 -134.335327 79.635922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38992629-1.38990904) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dl = 109.8997499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38992629-1.38990904) × R
    1.72499999999687e-05 × 6371000     		dr = 109.8997499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34468963--2.34459376) × cos(1.38992629) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.179885485771517 × 6371000     		do = 109.871854709749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34468963--2.34459376) × cos(1.38990904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.17990245435513 × 6371000     		du = 109.882218913094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38992629)-sin(1.38990904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.179885485771517-0.17990245435513)×R²
    abs(-2.34459376--2.34468963)×1.69685836131916e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.69685836131916e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.69685836131916e-05×40589641000000     		ar = 12075.4588768575m²