Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83111 / 20638
↖ ↑ ↗
← N 76.741657°
E 48.271179°		 ← 70.05 m → N 76.741657°
E 48.273926°		 →
↑
70.02 m
↓
↑
70.02 m
↓
N 76.741027°
E 48.271179°		 ← 70.05 m →
4 905 m²		 N 76.741027°
E 48.273926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20638 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634090423583984 y=0.157459259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634090423583984 × 217)
    floor (0.634090423583984 × 131072)
    floor (83111.5)     		tx = 83111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157459259033203 × 217)
    floor (0.157459259033203 × 131072)
    floor (20638.5)     		ty = 20638
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83111 / 20638 ti = "17/83111/20638"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83111/20638.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83111 ÷ 217
    83111 ÷ 131072     		x = 0.634086608886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20638 ÷ 217
    20638 ÷ 131072     		y = 0.157455444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634086608886719 × 2 - 1) × π
    0.268173217773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.84249101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157455444335938 × 2 - 1) × π
    0.685089111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.15227091914128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84249101} λ = 0.84249101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15227091914128))-π/2
    2×atan(8.60437606957731)-π/2
    2×1.45509545850896-π/2
    2.91019091701792-1.57079632675     		φ = 1.33939459
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84249101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.271179°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33939459 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.741657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83111 KachelY 20638 0.84249101 1.33939459 48.271179 76.741657
    Oben rechts KachelX + 1 83112 KachelY 20638 0.84253895 1.33939459 48.273926 76.741657
    Unten links KachelX 83111 KachelY + 1 20639 0.84249101 1.33938360 48.271179 76.741027
    Unten rechts KachelX + 1 83112 KachelY + 1 20639 0.84253895 1.33938360 48.273926 76.741027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33939459-1.33938360) × R
    1.0990000000044e-05 × 6371000     		dl = 70.0172900002805m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33939459-1.33938360) × R
    1.0990000000044e-05 × 6371000     		dr = 70.0172900002805m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84249101-0.84253895) × cos(1.33939459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229342123127462 × 6371000     		do = 70.0469876693303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84249101-0.84253895) × cos(1.33938360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229352820184768 × 6371000     		du = 70.0502548259737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33939459)-sin(1.33938360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229342123127462-0.229352820184768)×R²
    abs(0.84253895-0.84249101)×1.06970573058307e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06970573058307e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06970573058307e-05×40589641000000     		ar = 4904.61462804091m²