Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83110 / 20640
↖ ↑ ↗
← N 76.740397°
E 48.268432°		 ← 70.05 m → N 76.740397°
E 48.271179°		 →
↑
70.02 m
↓
↑
70.02 m
↓
N 76.739767°
E 48.268432°		 ← 70.06 m →
4 905 m²		 N 76.739767°
E 48.271179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20640 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634082794189453 y=0.157474517822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634082794189453 × 217)
    floor (0.634082794189453 × 131072)
    floor (83110.5)     		tx = 83110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157474517822266 × 217)
    floor (0.157474517822266 × 131072)
    floor (20640.5)     		ty = 20640
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83110 / 20640 ti = "17/83110/20640"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83110/20640.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83110 ÷ 217
    83110 ÷ 131072     		x = 0.634078979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20640 ÷ 217
    20640 ÷ 131072     		y = 0.157470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634078979492188 × 2 - 1) × π
    0.268157958984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.84244307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157470703125 × 2 - 1) × π
    0.68505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.15217504534204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84244307} λ = 0.84244307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15217504534204))-π/2
    2×atan(8.60355117489696)-π/2
    2×1.45508446404565-π/2
    2.9101689280913-1.57079632675     		φ = 1.33937260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84244307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.268432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33937260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.740397°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83110 KachelY 20640 0.84244307 1.33937260 48.268432 76.740397
    Oben rechts KachelX + 1 83111 KachelY 20640 0.84249101 1.33937260 48.271179 76.740397
    Unten links KachelX 83110 KachelY + 1 20641 0.84244307 1.33936161 48.268432 76.739767
    Unten rechts KachelX + 1 83111 KachelY + 1 20641 0.84249101 1.33936161 48.271179 76.739767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33937260-1.33936161) × R
    1.0989999999822e-05 × 6371000     		dl = 70.0172899988658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33937260-1.33936161) × R
    1.0989999999822e-05 × 6371000     		dr = 70.0172899988658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84244307-0.84249101) × cos(1.33937260) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.229363526947781 × 6371000     		do = 70.0535249471521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84244307-0.84249101) × cos(1.33936161) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.229374223949657 × 6371000     		du = 70.0567920868661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33937260)-sin(1.33936161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229363526947781-0.229374223949657)×R²
    abs(0.84249101-0.84244307)×1.06970018765862e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.06970018765862e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.06970018765862e-05×40589641000000     		ar = 4905.07234979774m²