Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83105 / 20641
↖ ↑ ↗
← N 76.739767°
E 48.254700°		 ← 70.06 m → N 76.739767°
E 48.257446°		 →
↑
70.08 m
↓
↑
70.08 m
↓
N 76.739137°
E 48.254700°		 ← 70.06 m →
4 910 m²		 N 76.739137°
E 48.257446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.634044647216797 y=0.157482147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.634044647216797 × 217)
    floor (0.634044647216797 × 131072)
    floor (83105.5)     		tx = 83105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157482147216797 × 217)
    floor (0.157482147216797 × 131072)
    floor (20641.5)     		ty = 20641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83105 / 20641 ti = "17/83105/20641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83105/20641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83105 ÷ 217
    83105 ÷ 131072     		x = 0.634040832519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20641 ÷ 217
    20641 ÷ 131072     		y = 0.157478332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.634040832519531 × 2 - 1) × π
    0.268081665039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.84220339
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.157478332519531 × 2 - 1) × π
    0.685043334960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.15212710844242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84220339} λ = 0.84220339}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15212710844242))-π/2
    2×atan(8.603138757213)-π/2
    2×1.45507896642924-π/2
    2.91015793285848-1.57079632675     		φ = 1.33936161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84220339} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.254700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33936161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.739767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83105 KachelY 20641 0.84220339 1.33936161 48.254700 76.739767
    Oben rechts KachelX + 1 83106 KachelY 20641 0.84225133 1.33936161 48.257446 76.739767
    Unten links KachelX 83105 KachelY + 1 20642 0.84220339 1.33935061 48.254700 76.739137
    Unten rechts KachelX + 1 83106 KachelY + 1 20642 0.84225133 1.33935061 48.257446 76.739137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33936161-1.33935061) × R
    1.09999999999832e-05 × 6371000     		dl = 70.0809999998933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33936161-1.33935061) × R
    1.09999999999832e-05 × 6371000     		dr = 70.0809999998933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84220339-0.84225133) × cos(1.33936161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229374223949657 × 6371000     		do = 70.0567920867038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84220339-0.84225133) × cos(1.33935061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.229384930657188 × 6371000     		du = 70.0600621907744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33936161)-sin(1.33935061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229374223949657-0.229384930657188)×R²
    abs(0.84225133-0.84220339)×1.07067075307832e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07067075307832e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07067075307832e-05×40589641000000     		ar = 4909.76463227928m²