Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 831 / 179
↖ ↑ ↗
← N 81.440137°
W 33.925781°		 ← 2 909.27 m → N 81.440137°
W 33.750000°		 →
↑
2 913.71 m
↓
↑
2 913.71 m
↓
N 81.413933°
W 33.925781°		 ← 2 918.11 m →
8 489 670 m²		 N 81.413933°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 179 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406005859375 y=0.087646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406005859375 × 211)
    floor (0.406005859375 × 2048)
    floor (831.5)     		tx = 831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.087646484375 × 211)
    floor (0.087646484375 × 2048)
    floor (179.5)     		ty = 179
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 831 / 179 ti = "11/831/179"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/831/179.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 831 ÷ 211
    831 ÷ 2048     		x = 0.40576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 179 ÷ 211
    179 ÷ 2048     		y = 0.08740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08740234375 × 2 - 1) × π
    0.8251953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.59242753145264
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59211658} λ = -0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59242753145264))-π/2
    2×atan(13.3621693503844)-π/2
    2×1.49609742825458-π/2
    2.99219485650916-1.57079632675     		φ = 1.42139853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42139853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.440137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 831 KachelY 179 -0.59211658 1.42139853 -33.925781 81.440137
    Oben rechts KachelX + 1 832 KachelY 179 -0.58904862 1.42139853 -33.750000 81.440137
    Unten links KachelX 831 KachelY + 1 180 -0.59211658 1.42094119 -33.925781 81.413933
    Unten rechts KachelX + 1 832 KachelY + 1 180 -0.58904862 1.42094119 -33.750000 81.413933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42139853-1.42094119) × R
    0.000457340000000084 × 6371000     		dl = 2913.71314000053m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42139853-1.42094119) × R
    0.000457340000000084 × 6371000     		dr = 2913.71314000053m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59211658--0.58904862) × cos(1.42139853) × R
    0.00306795999999998 × 0.14884266430057 × 6371000     		do = 2909.27472148182m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59211658--0.58904862) × cos(1.42094119) × R
    0.00306795999999998 × 0.149294894358631 × 6371000     		du = 2918.11399805882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42139853)-sin(1.42094119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14884266430057-0.149294894358631)×R²
    abs(-0.58904862--0.59211658)×0.000452230058060832×R²
    0.00306795999999998×0.000452230058060832×6371000²
    0.00306795999999998×0.000452230058060832×40589641000000     		ar = 8489669.68999073m²