Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 831 / 1595
↖ ↑ ↗
← S 70.318738°
W 33.925781°		 ← 6 582.84 m → S 70.318738°
W 33.750000°		 →
↑
6 573.34 m
↓
↑
6 573.34 m
↓
S 70.377854°
W 33.925781°		 ← 6 563.84 m →
43 208 823 m²		 S 70.377854°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406005859375 y=0.779052734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406005859375 × 211)
    floor (0.406005859375 × 2048)
    floor (831.5)     		tx = 831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779052734375 × 211)
    floor (0.779052734375 × 2048)
    floor (1595.5)     		ty = 1595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 831 / 1595 ti = "11/831/1595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/831/1595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 831 ÷ 211
    831 ÷ 2048     		x = 0.40576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1595 ÷ 211
    1595 ÷ 2048     		y = 0.77880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77880859375 × 2 - 1) × π
    -0.5576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75180605971533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59211658} λ = -0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75180605971533))-π/2
    2×atan(0.173460380573478)-π/2
    2×0.171751407256281-π/2
    0.343502814512562-1.57079632675     		φ = -1.22729351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22729351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.318738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 831 KachelY 1595 -0.59211658 -1.22729351 -33.925781 -70.318738
    Oben rechts KachelX + 1 832 KachelY 1595 -0.58904862 -1.22729351 -33.750000 -70.318738
    Unten links KachelX 831 KachelY + 1 1596 -0.59211658 -1.22832527 -33.925781 -70.377854
    Unten rechts KachelX + 1 832 KachelY + 1 1596 -0.58904862 -1.22832527 -33.750000 -70.377854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22729351--1.22832527) × R
    0.00103176000000005 × 6371000     		dl = 6573.34296000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22729351--1.22832527) × R
    0.00103176000000005 × 6371000     		dr = 6573.34296000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59211658--0.58904862) × cos(-1.22729351) × R
    0.00306795999999998 × 0.336787336368205 × 6371000     		do = 6582.83623728079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59211658--0.58904862) × cos(-1.22832527) × R
    0.00306795999999998 × 0.335815671936321 × 6371000     		du = 6563.84411037466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22729351)-sin(-1.22832527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336787336368205-0.335815671936321)×R²
    abs(-0.58904862--0.59211658)×0.000971664431883901×R²
    0.00306795999999998×0.000971664431883901×6371000²
    0.00306795999999998×0.000971664431883901×40589641000000     		ar = 43208823.1884001m²