Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 831 / 1468
↖ ↑ ↗
← S 61.270233°
W 33.925781°		 ← 9 395.34 m → S 61.270233°
W 33.750000°		 →
↑
9 382.70 m
↓
↑
9 382.70 m
↓
S 61.354614°
W 33.925781°		 ← 9 370.09 m →
88 035 211 m²		 S 61.354614°
W 33.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.406005859375 y=0.717041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.406005859375 × 211)
    floor (0.406005859375 × 2048)
    floor (831.5)     		tx = 831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.717041015625 × 211)
    floor (0.717041015625 × 2048)
    floor (1468.5)     		ty = 1468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 831 / 1468 ti = "11/831/1468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/831/1468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 831 ÷ 211
    831 ÷ 2048     		x = 0.40576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1468 ÷ 211
    1468 ÷ 2048     		y = 0.716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.40576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.59211658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.716796875 × 2 - 1) × π
    -0.43359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.36217493960352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.59211658} λ = -0.59211658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.36217493960352))-π/2
    2×atan(0.25610316187446)-π/2
    2×0.250714515582355-π/2
    0.501429031164709-1.57079632675     		φ = -1.06936730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.59211658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -33.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06936730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.270233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 831 KachelY 1468 -0.59211658 -1.06936730 -33.925781 -61.270233
    Oben rechts KachelX + 1 832 KachelY 1468 -0.58904862 -1.06936730 -33.750000 -61.270233
    Unten links KachelX 831 KachelY + 1 1469 -0.59211658 -1.07084002 -33.925781 -61.354614
    Unten rechts KachelX + 1 832 KachelY + 1 1469 -0.58904862 -1.07084002 -33.750000 -61.354614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06936730--1.07084002) × R
    0.00147271999999998 × 6371000     		dl = 9382.69911999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06936730--1.07084002) × R
    0.00147271999999998 × 6371000     		dr = 9382.69911999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.59211658--0.58904862) × cos(-1.06936730) × R
    0.00306795999999998 × 0.480679137651468 × 6371000     		do = 9395.34152310749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.59211658--0.58904862) × cos(-1.07084002) × R
    0.00306795999999998 × 0.479387193751709 × 6371000     		du = 9370.08922231856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06936730)-sin(-1.07084002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.480679137651468-0.479387193751709)×R²
    abs(-0.58904862--0.59211658)×0.00129194389975973×R²
    0.00306795999999998×0.00129194389975973×6371000²
    0.00306795999999998×0.00129194389975973×40589641000000     		ar = 88035211.1824269m²