Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83092 / 16052
↖ ↑ ↗
← N 79.341317°
E 48.218994°		 ← 56.49 m → N 79.341317°
E 48.221741°		 →
↑
56.45 m
↓
↑
56.45 m
↓
N 79.340809°
E 48.218994°		 ← 56.49 m →
3 189 m²		 N 79.340809°
E 48.221741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633945465087891 y=0.122470855712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633945465087891 × 217)
    floor (0.633945465087891 × 131072)
    floor (83092.5)     		tx = 83092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.122470855712891 × 217)
    floor (0.122470855712891 × 131072)
    floor (16052.5)     		ty = 16052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83092 / 16052 ti = "17/83092/16052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83092/16052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83092 ÷ 217
    83092 ÷ 131072     		x = 0.633941650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16052 ÷ 217
    16052 ÷ 131072     		y = 0.122467041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633941650390625 × 2 - 1) × π
    0.26788330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84158021
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.122467041015625 × 2 - 1) × π
    0.75506591796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.37210954079886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84158021} λ = 0.84158021}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.37210954079886))-π/2
    2×atan(10.7199826888885)-π/2
    2×1.47778177055633-π/2
    2.95556354111267-1.57079632675     		φ = 1.38476721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84158021} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.218994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38476721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.341317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83092 KachelY 16052 0.84158021 1.38476721 48.218994 79.341317
    Oben rechts KachelX + 1 83093 KachelY 16052 0.84162815 1.38476721 48.221741 79.341317
    Unten links KachelX 83092 KachelY + 1 16053 0.84158021 1.38475835 48.218994 79.340809
    Unten rechts KachelX + 1 83093 KachelY + 1 16053 0.84162815 1.38475835 48.221741 79.340809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38476721-1.38475835) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dl = 56.447059999289m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38476721-1.38475835) × R
    8.8599999998884e-06 × 6371000     		dr = 56.447059999289m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84158021-0.84162815) × cos(1.38476721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184957992146159 × 6371000     		do = 56.4909316201177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84158021-0.84162815) × cos(1.38475835) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.184966699272248 × 6371000     		du = 56.4935910005469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38476721)-sin(1.38475835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184957992146159-0.184966699272248)×R²
    abs(0.84162815-0.84158021)×8.70712608955215e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.70712608955215e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.70712608955215e-06×40589641000000     		ar = 3188.82206382717m²