Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83090 / 17106
↖ ↑ ↗
← N 78.792375°
E 48.213501°		 ← 59.35 m → N 78.792375°
E 48.216247°		 →
↑
59.38 m
↓
↑
59.38 m
↓
N 78.791841°
E 48.213501°		 ← 59.35 m →
3 524 m²		 N 78.791841°
E 48.216247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633930206298828 y=0.130512237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633930206298828 × 217)
    floor (0.633930206298828 × 131072)
    floor (83090.5)     		tx = 83090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130512237548828 × 217)
    floor (0.130512237548828 × 131072)
    floor (17106.5)     		ty = 17106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83090 / 17106 ti = "17/83090/17106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83090/17106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83090 ÷ 217
    83090 ÷ 131072     		x = 0.633926391601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17106 ÷ 217
    17106 ÷ 131072     		y = 0.130508422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633926391601562 × 2 - 1) × π
    0.267852783203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84148434
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130508422851562 × 2 - 1) × π
    0.738983154296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.32158404859932
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84148434} λ = 0.84148434}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32158404859932))-π/2
    2×atan(10.1918058419002)-π/2
    2×1.47299134743148-π/2
    2.94598269486296-1.57079632675     		φ = 1.37518637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84148434} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.213501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37518637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.792375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83090 KachelY 17106 0.84148434 1.37518637 48.213501 78.792375
    Oben rechts KachelX + 1 83091 KachelY 17106 0.84153227 1.37518637 48.216247 78.792375
    Unten links KachelX 83090 KachelY + 1 17107 0.84148434 1.37517705 48.213501 78.791841
    Unten rechts KachelX + 1 83091 KachelY + 1 17107 0.84153227 1.37517705 48.216247 78.791841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37518637-1.37517705) × R
    9.31999999997934e-06 × 6371000     		dl = 59.3777199998684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37518637-1.37517705) × R
    9.31999999997934e-06 × 6371000     		dr = 59.3777199998684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84148434-0.84153227) × cos(1.37518637) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.19436489557232 × 6371000     		do = 59.3516590726004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84148434-0.84153227) × cos(1.37517705) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.194374037824934 × 6371000     		du = 59.3544507694175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37518637)-sin(1.37517705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19436489557232-0.194374037824934)×R²
    abs(0.84153227-0.84148434)×9.14225261425261e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.14225261425261e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.14225261425261e-06×40589641000000     		ar = 3524.24907617517m²