Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8309 / 7750
↖ ↑ ↗
← N 79.618118°
W134.357300°		 ← 110.08 m → N 79.618118°
W134.351807°		 →
↑
110.09 m
↓
↑
110.09 m
↓
N 79.617128°
W134.357300°		 ← 110.09 m →
12 119 m²		 N 79.617128°
W134.351807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.126792907714844 y=0.118263244628906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.126792907714844 × 216)
    floor (0.126792907714844 × 65536)
    floor (8309.5)     		tx = 8309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118263244628906 × 216)
    floor (0.118263244628906 × 65536)
    floor (7750.5)     		ty = 7750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8309 / 7750 ti = "16/8309/7750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8309/7750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8309 ÷ 216
    8309 ÷ 65536     		x = 0.126785278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7750 ÷ 216
    7750 ÷ 65536     		y = 0.118255615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.126785278320312 × 2 - 1) × π
    -0.746429443359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.34497726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118255615234375 × 2 - 1) × π
    0.76348876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39857070938913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34497726} λ = -2.34497726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39857070938913))-π/2
    2×atan(11.0074323122436)-π/2
    2×1.48019731938907-π/2
    2.96039463877814-1.57079632675     		φ = 1.38959831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34497726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.357300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38959831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.618118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8309 KachelY 7750 -2.34497726 1.38959831 -134.357300 79.618118
    Oben rechts KachelX + 1 8310 KachelY 7750 -2.34488138 1.38959831 -134.351807 79.618118
    Unten links KachelX 8309 KachelY + 1 7751 -2.34497726 1.38958103 -134.357300 79.617128
    Unten rechts KachelX + 1 8310 KachelY + 1 7751 -2.34488138 1.38958103 -134.351807 79.617128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38959831-1.38958103) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dl = 110.090880000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38959831-1.38958103) × R
    1.72800000000084e-05 × 6371000     		dr = 110.090880000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34497726--2.34488138) × cos(1.38959831) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.180208105935826 × 6371000     		do = 110.080388218824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34497726--2.34488138) × cos(1.38958103) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.180225103009511 × 6371000     		du = 110.09077090644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38959831)-sin(1.38958103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180208105935826-0.180225103009511)×R²
    abs(-2.34488138--2.34497726)×1.69970736844105e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.69970736844105e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.69970736844105e-05×40589641000000     		ar = 12119.4183294429m²