Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83078 / 16566
↖ ↑ ↗
← N 79.077018°
E 48.180542°		 ← 57.87 m → N 79.077018°
E 48.183289°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.076497°
E 48.180542°		 ← 57.88 m →
3 348 m²		 N 79.076497°
E 48.183289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633838653564453 y=0.126392364501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633838653564453 × 217)
    floor (0.633838653564453 × 131072)
    floor (83078.5)     		tx = 83078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126392364501953 × 217)
    floor (0.126392364501953 × 131072)
    floor (16566.5)     		ty = 16566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83078 / 16566 ti = "17/83078/16566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83078/16566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83078 ÷ 217
    83078 ÷ 131072     		x = 0.633834838867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16566 ÷ 217
    16566 ÷ 131072     		y = 0.126388549804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633834838867188 × 2 - 1) × π
    0.267669677734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.84090909
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126388549804688 × 2 - 1) × π
    0.747222900390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34746997439415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84090909} λ = 0.84090909}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34746997439415))-π/2
    2×atan(10.459074495769)-π/2
    2×1.47547532431288-π/2
    2.95095064862576-1.57079632675     		φ = 1.38015432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84090909} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.180542°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38015432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.077018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83078 KachelY 16566 0.84090909 1.38015432 48.180542 79.077018
    Oben rechts KachelX + 1 83079 KachelY 16566 0.84095703 1.38015432 48.183289 79.077018
    Unten links KachelX 83078 KachelY + 1 16567 0.84090909 1.38014524 48.180542 79.076497
    Unten rechts KachelX + 1 83079 KachelY + 1 16567 0.84095703 1.38014524 48.183289 79.076497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38015432-1.38014524) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dl = 57.8486799992586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38015432-1.38014524) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dr = 57.8486799992586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84090909-0.84095703) × cos(1.38015432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189489309403513 × 6371000     		do = 57.8749125466188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84090909-0.84095703) × cos(1.38014524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18949822489138 × 6371000     		du = 57.8776355660983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38015432)-sin(1.38014524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189489309403513-0.18949822489138)×R²
    abs(0.84095703-0.84090909)×8.91548786763341e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.91548786763341e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.91548786763341e-06×40589641000000     		ar = 3348.06605736729m²