Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83066 / 16567
↖ ↑ ↗
← N 79.076497°
E 48.147583°		 ← 57.88 m → N 79.076497°
E 48.150330°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.075977°
E 48.147583°		 ← 57.88 m →
3 352 m²		 N 79.075977°
E 48.150330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633747100830078 y=0.126399993896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633747100830078 × 217)
    floor (0.633747100830078 × 131072)
    floor (83066.5)     		tx = 83066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126399993896484 × 217)
    floor (0.126399993896484 × 131072)
    floor (16567.5)     		ty = 16567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83066 / 16567 ti = "17/83066/16567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83066/16567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83066 ÷ 217
    83066 ÷ 131072     		x = 0.633743286132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16567 ÷ 217
    16567 ÷ 131072     		y = 0.126396179199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633743286132812 × 2 - 1) × π
    0.267486572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.84033385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126396179199219 × 2 - 1) × π
    0.747207641601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.34742203749453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84033385} λ = 0.84033385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34742203749453))-π/2
    2×atan(10.4585731321818)-π/2
    2×1.47547078244103-π/2
    2.95094156488206-1.57079632675     		φ = 1.38014524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84033385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.147583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38014524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.076497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83066 KachelY 16567 0.84033385 1.38014524 48.147583 79.076497
    Oben rechts KachelX + 1 83067 KachelY 16567 0.84038179 1.38014524 48.150330 79.076497
    Unten links KachelX 83066 KachelY + 1 16568 0.84033385 1.38013615 48.147583 79.075977
    Unten rechts KachelX + 1 83067 KachelY + 1 16568 0.84038179 1.38013615 48.150330 79.075977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38014524-1.38013615) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38014524-1.38013615) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84033385-0.84038179) × cos(1.38014524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18949822489138 × 6371000     		do = 57.8776355660983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84033385-0.84038179) × cos(1.38013615) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189507150182418 × 6371000     		du = 57.8803615797182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38014524)-sin(1.38013615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18949822489138-0.189507150182418)×R²
    abs(0.84038179-0.84033385)×8.92529103774242e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.92529103774242e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.92529103774242e-06×40589641000000     		ar = 3351.91113826745m²