Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83053 / 16553
↖ ↑ ↗
← N 79.083781°
E 48.111877°		 ← 57.84 m → N 79.083781°
E 48.114624°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.083261°
E 48.111877°		 ← 57.84 m →
3 346 m²		 N 79.083261°
E 48.114624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633647918701172 y=0.126293182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633647918701172 × 217)
    floor (0.633647918701172 × 131072)
    floor (83053.5)     		tx = 83053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126293182373047 × 217)
    floor (0.126293182373047 × 131072)
    floor (16553.5)     		ty = 16553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83053 / 16553 ti = "17/83053/16553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83053/16553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83053 ÷ 217
    83053 ÷ 131072     		x = 0.633644104003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16553 ÷ 217
    16553 ÷ 131072     		y = 0.126289367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633644104003906 × 2 - 1) × π
    0.267288208007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.83971067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126289367675781 × 2 - 1) × π
    0.747421264648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.34809315408921
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83971067} λ = 0.83971067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34809315408921))-π/2
    2×atan(10.465594409952)-π/2
    2×1.47553434919701-π/2
    2.95106869839403-1.57079632675     		φ = 1.38027237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83971067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.111877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38027237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.083781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83053 KachelY 16553 0.83971067 1.38027237 48.111877 79.083781
    Oben rechts KachelX + 1 83054 KachelY 16553 0.83975861 1.38027237 48.114624 79.083781
    Unten links KachelX 83053 KachelY + 1 16554 0.83971067 1.38026329 48.111877 79.083261
    Unten rechts KachelX + 1 83054 KachelY + 1 16554 0.83975861 1.38026329 48.114624 79.083261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38027237-1.38026329) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dl = 57.8486799992586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38027237-1.38026329) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dr = 57.8486799992586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83971067-0.83975861) × cos(1.38027237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189373396820781 × 6371000     		do = 57.8395098602629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83971067-0.83975861) × cos(1.38026329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189382312511704 × 6371000     		du = 57.8422329417606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38027237)-sin(1.38026329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189373396820781-0.189382312511704)×R²
    abs(0.83975861-0.83971067)×8.91569092273392e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.91569092273392e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.91569092273392e-06×40589641000000     		ar = 3346.01806050296m²