Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83048 / 16313
↖ ↑ ↗
← N 79.207910°
E 48.098145°		 ← 57.18 m → N 79.207910°
E 48.100891°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
N 79.207396°
E 48.098145°		 ← 57.18 m →
3 268 m²		 N 79.207396°
E 48.100891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633609771728516 y=0.124462127685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633609771728516 × 217)
    floor (0.633609771728516 × 131072)
    floor (83048.5)     		tx = 83048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124462127685547 × 217)
    floor (0.124462127685547 × 131072)
    floor (16313.5)     		ty = 16313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83048 / 16313 ti = "17/83048/16313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83048/16313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83048 ÷ 217
    83048 ÷ 131072     		x = 0.63360595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16313 ÷ 217
    16313 ÷ 131072     		y = 0.124458312988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63360595703125 × 2 - 1) × π
    0.2672119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83947099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124458312988281 × 2 - 1) × π
    0.751083374023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.35959800999802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83947099} λ = 0.83947099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35959800999802))-π/2
    2×atan(10.5866948514513)-π/2
    2×1.47661757520818-π/2
    2.95323515041636-1.57079632675     		φ = 1.38243882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83947099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.098145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38243882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.207910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83048 KachelY 16313 0.83947099 1.38243882 48.098145 79.207910
    Oben rechts KachelX + 1 83049 KachelY 16313 0.83951892 1.38243882 48.100891 79.207910
    Unten links KachelX 83048 KachelY + 1 16314 0.83947099 1.38242985 48.098145 79.207396
    Unten rechts KachelX + 1 83049 KachelY + 1 16314 0.83951892 1.38242985 48.100891 79.207396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38243882-1.38242985) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dl = 57.1478699992738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38243882-1.38242985) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dr = 57.1478699992738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83947099-0.83951892) × cos(1.38243882) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.187245705667974 × 6371000     		do = 57.1777287914577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83947099-0.83951892) × cos(1.38242985) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.187254517009036 × 6371000     		du = 57.1804194404513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38243882)-sin(1.38242985))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187245705667974-0.187254517009036)×R²
    abs(0.83951892-0.83947099)×8.81134106181514e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.81134106181514e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.81134106181514e-06×40589641000000     		ar = 3267.66229434511m²