Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83044 / 16316
↖ ↑ ↗
← N 79.206367°
E 48.087158°		 ← 57.20 m → N 79.206367°
E 48.089905°		 →
↑
57.15 m
↓
↑
57.15 m
↓
N 79.205853°
E 48.087158°		 ← 57.20 m →
3 269 m²		 N 79.205853°
E 48.089905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633579254150391 y=0.124485015869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633579254150391 × 217)
    floor (0.633579254150391 × 131072)
    floor (83044.5)     		tx = 83044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124485015869141 × 217)
    floor (0.124485015869141 × 131072)
    floor (16316.5)     		ty = 16316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83044 / 16316 ti = "17/83044/16316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83044/16316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83044 ÷ 217
    83044 ÷ 131072     		x = 0.633575439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16316 ÷ 217
    16316 ÷ 131072     		y = 0.124481201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633575439453125 × 2 - 1) × π
    0.26715087890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83927924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124481201171875 × 2 - 1) × π
    0.75103759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.35945419929916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83927924} λ = 0.83927924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35945419929916))-π/2
    2×atan(10.5851724809353)-π/2
    2×1.47660411028949-π/2
    2.95320822057898-1.57079632675     		φ = 1.38241189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83927924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.087158°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38241189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.206367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83044 KachelY 16316 0.83927924 1.38241189 48.087158 79.206367
    Oben rechts KachelX + 1 83045 KachelY 16316 0.83932718 1.38241189 48.089905 79.206367
    Unten links KachelX 83044 KachelY + 1 16317 0.83927924 1.38240292 48.087158 79.205853
    Unten rechts KachelX + 1 83045 KachelY + 1 16317 0.83932718 1.38240292 48.089905 79.205853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38241189-1.38240292) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dl = 57.1478699992738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38241189-1.38240292) × R
    8.96999999988601e-06 × 6371000     		dr = 57.1478699992738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83927924-0.83932718) × cos(1.38241189) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187272159292121 × 6371000     		do = 57.1977378331563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83927924-0.83932718) × cos(1.38240292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187280970587947 × 6371000     		du = 57.2004290297044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38241189)-sin(1.38240292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187272159292121-0.187280970587947)×R²
    abs(0.83932718-0.83927924)×8.81129582608331e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.81129582608331e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.81129582608331e-06×40589641000000     		ar = 3268.80578398505m²