Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83043 / 16308
↖ ↑ ↗
← N 79.210481°
E 48.084412°		 ← 57.18 m → N 79.210481°
E 48.087158°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
N 79.209967°
E 48.084412°		 ← 57.18 m →
3 271 m²		 N 79.209967°
E 48.087158°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633571624755859 y=0.124423980712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633571624755859 × 217)
    floor (0.633571624755859 × 131072)
    floor (83043.5)     		tx = 83043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124423980712891 × 217)
    floor (0.124423980712891 × 131072)
    floor (16308.5)     		ty = 16308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83043 / 16308 ti = "17/83043/16308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83043/16308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83043 ÷ 217
    83043 ÷ 131072     		x = 0.633567810058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16308 ÷ 217
    16308 ÷ 131072     		y = 0.124420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633567810058594 × 2 - 1) × π
    0.267135620117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.83923130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124420166015625 × 2 - 1) × π
    0.75115966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35983769449612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83923130} λ = 0.83923130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35983769449612))-π/2
    2×atan(10.5892326222133)-π/2
    2×1.47664001251276-π/2
    2.95328002502551-1.57079632675     		φ = 1.38248370
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83923130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.084412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38248370 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.210481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83043 KachelY 16308 0.83923130 1.38248370 48.084412 79.210481
    Oben rechts KachelX + 1 83044 KachelY 16308 0.83927924 1.38248370 48.087158 79.210481
    Unten links KachelX 83043 KachelY + 1 16309 0.83923130 1.38247472 48.084412 79.209967
    Unten rechts KachelX + 1 83044 KachelY + 1 16309 0.83927924 1.38247472 48.087158 79.209967
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38248370-1.38247472) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38248370-1.38247472) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83923130-0.83927924) × cos(1.38248370) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187201619267044 × 6371000     		do = 57.1761930937977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83923130-0.83927924) × cos(1.38247472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187210440506677 × 6371000     		du = 57.1788873274404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38248370)-sin(1.38247472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187201619267044-0.187210440506677)×R²
    abs(0.83927924-0.83923130)×8.8212396333609e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.8212396333609e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.8212396333609e-06×40589641000000     		ar = 3271.21741603608m²