Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83041 / 16557
↖ ↑ ↗
← N 79.081701°
E 48.078919°		 ← 57.84 m → N 79.081701°
E 48.081665°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.081181°
E 48.078919°		 ← 57.84 m →
3 346 m²		 N 79.081181°
E 48.081665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.633556365966797 y=0.126323699951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.633556365966797 × 217)
    floor (0.633556365966797 × 131072)
    floor (83041.5)     		tx = 83041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126323699951172 × 217)
    floor (0.126323699951172 × 131072)
    floor (16557.5)     		ty = 16557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83041 / 16557 ti = "17/83041/16557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83041/16557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83041 ÷ 217
    83041 ÷ 131072     		x = 0.633552551269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16557 ÷ 217
    16557 ÷ 131072     		y = 0.126319885253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633552551269531 × 2 - 1) × π
    0.267105102539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.83913543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126319885253906 × 2 - 1) × π
    0.747360229492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.34790140649073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83913543} λ = 0.83913543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34790140649073))-π/2
    2×atan(10.4635878497399)-π/2
    2×1.47551619154085-π/2
    2.9510323830817-1.57079632675     		φ = 1.38023606
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83913543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.078919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38023606 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.081701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83041 KachelY 16557 0.83913543 1.38023606 48.078919 79.081701
    Oben rechts KachelX + 1 83042 KachelY 16557 0.83918336 1.38023606 48.081665 79.081701
    Unten links KachelX 83041 KachelY + 1 16558 0.83913543 1.38022698 48.078919 79.081181
    Unten rechts KachelX + 1 83042 KachelY + 1 16558 0.83918336 1.38022698 48.081665 79.081181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38023606-1.38022698) × R
    9.08000000010567e-06 × 6371000     		dl = 57.8486800006732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38023606-1.38022698) × R
    9.08000000010567e-06 × 6371000     		dr = 57.8486800006732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83913543-0.83918336) × cos(1.38023606) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189409049671804 × 6371000     		do = 57.8383319081882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83913543-0.83918336) × cos(1.38022698) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189417965300284 × 6371000     		du = 57.8410544025996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38023606)-sin(1.38022698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189409049671804-0.189417965300284)×R²
    abs(0.83918336-0.83913543)×8.91562848018279e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.91562848018279e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.91562848018279e-06×40589641000000     		ar = 3345.94990075844m²